Algebra va sonlar nazariyasi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA YO’NALISHI
“ ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI ” FANIDAN
MUSTAQIL ISHI



Bajardi: 20.04-guruh talabasi

Nurillo Akbarov .
Qabul qildi: Mirzakarimova Nigora.


BINAR VA UNAR MUNOSABATLAR. BINAR MUNOSABAT TURLARI, EKVIVALENTLIK MUNOSABATI TO’PLAM SINFLARGA AJRATISH, FAKTOR TO’PLAM.

REJA:

1. Binar va unar munosabatlar.

2. Binar munosabat turlari.

3. Ekvivalent munosabat.

4. Faktor to’plam.

i xtiyoriy tabiatli bo’sh bo’lmagan to’plam bo’lsa,
to’g’ri ko’paytmaning har qanday qism to’plamni

to’plamlarning elementlari orasidaaniqlangan n-ar(n o’rinli munosabat)munosabat deyiladi.

Xususiy xolda bo’lganda ni A to’plamning elementlari orasida aniqlangan n-ar munosabat deyiladi.

Agar n=1,2,3 bo’lsa ni mos ravishda unar ,binar,ternarmunosabat deyiladi.

A₁, ……., A_n – bo’sh bo’lmagan to’plamlar Ʉa₁є A₁, ……, Ʉa_nє A_n- elementlardan tuzilgan barcha ( a₁,……, a_n) n- liklar to’plami A₁, ….., A_n to’plamlarning dekart ko’paytmasi deyiladi. A₁, ….., A_n to’plamlarning dekart ko’paytmasi A₁×….×A_n ko’rinishida belgilanadi.

A = Ǿ to’plam berilgan bo’lsin. Aⁿ ning ixtiyoriy p to’plamostisi A to’plamda aniqlangan n- ar munosabat deyiladi. A² ning ixtiyoriy to’plamostisi A to’plamda berilgan binar munosabat deyiladi. Agar munosabat bir o’rinli bo’lsa, u holda u unar munosabat, ikki o’rinli bo’lsa, binar munosabat deb ataladi. Agar aє A, bє B bo’lib, (a; b) є R bo’lsa, a element R munosabat yordamida b element bilan bog’langan deb o’qiladi yoki R munosabat a va b elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va a R b orqali yoziladi. Mosliklar odatda p, R, S, T,….. harflar orqali belgilanadi.

Misol. Agar a, b lar to’g’ri chiziqlarni ifodalasa, u holda a b ga parallel, a b ga perpendikulyar bo’lib, parallel, perpendikulyarlar binary munosabatlar bo’ladi.

Berilgan to’plamlarning har biri chekli to’plamlar bo’lsa, ular orasidagi moslikni faqatgina juftliklar orqali emas, balki graflar orqali ham ifodalash mumkin.

Ta’rif. Tekislikdagi chekli sondagi nuqtalar va ularning ba’zilarini tutashtiruvchi chiziqlar to’plami hosil qilgan figura graf, nuqtalar grafning uchlari, bu uchlarining qandaydir ikkitasini tutashtiruvchi chiziq grafning qirrasi deyiladi. Barcha qirralari yo’nalishi strelka bilan ko’rsatilgan graf orientirlangan graf deyiladi.

R= {(b, a)|((b, a)є R)} munosabat R munosabatning inversiyasi deyiladi.

P va Q binar munosabatlar bo’sh bo’lmagan A to’plamda berilgan bo’lsin. U holda PᵒQ = {(a, c)| Ǝ bєA, (a, b)ЄQ ᴧ (b, c)ЄP } to’plam P va Q binar munosabatlarning kompozitsiyasi deyiladi.

A to’plamida R binar musobat berilgan bo’lsin.

1. 
   Agar Ʉaє A uchun (a,a)є R bo’lsa, R binar munosabat refleksiv munosabat deyiladi.
   
2. 
   Agar (a,b)є R va (b,a)є R bo’lishi kelib chiqsa, ya’ni R^-1=R shart bajarilsa, R simmetrik munosabat deyiladi.
   
3. 
   Agar Ʉ(a, b)є R va (b, a)є R bo’lishidan (a, c)є R bo’lishi kelib chiqsa, ya’ni RᵒRєR shart bajarilsa, R tranzitiv munosabat deyiladi.
   
4. 
   Refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.
   

Refleksiv munosabat.

1-ta’rif. A to’plamning istalgan x elementi uchun xRx bajarilsa, u holda R munosabat A to’plamda aniqlangan refleksiv munosabati deyiladi. Agar A to’plamning har qanday elementi uchun xRx bajarilmasa, R antirefleksiv, A to’plamning ba’zi bir elementlari uchun xRx bajarilib, ba’zi bir y elementlari uchun yRy bajarilmasa, R A to’plamdagi refleksiv munosabat deyiladi.

Misollar. 1. Z butun sonlar to’plamida x-y ayirmaning m>0 butun songa qoldiqsiz bo’linish munosabati refleksiv munosabatdir. Darhaqiqat, barcha xє Z uchun x-x=0 ayirma m>0 qodiqsiz bo’linadi.

2. R haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan “kichik”( katta) munosabati antirefleksiv, chunki har qanday xє R uchun xx) doimo bajarilmaydi.

3. N to’plamda aniqlangan “ x va y ning eng katta umumiy bo’luvchisi d ga teng “ munosabati refleksivmas munosabat bo’ladi. Haqiqatan, x=y=d lar uchun (d:d) =d bo’lgan holda, xd lar uchun (x; x)≠d bo’ladi.

Simmetrik munosabati.

2-ta’rif. A to’plamdagi ixtiyoriy x va y elementlar uchun xRy munosabatning bajatilishidan yRx munosabat xam bajarilsa, u holda R ni A to’plamdagi simmetrik munosabat deyiladi.

A dagi x va y elementlar uchun xRy bajarilib, lekin y va x lar uchun yRx bajarilmasa, R munosabat A to’plamda simmetrikmas munosabat deyiladi.

3-ta’rif. Agar A to’plamdagi ixtiyoriy x va y elementlar uchun xRy va yRx larning o’rinli ekanligidan x=y kelib chiqsa, u holda R ni A to’plamdagi antisimmetrik munosabat deyiladi.

Tranzitivlik munosabati.

4-ta’rif. Ato’plamning ixtiyoriy x,y va z elementlari uchun xRy va yRz larning bajarilishi (rostligi) dan xRz ning ham bajarilishi kelib chiqsa , u holda R munosabatga A to’plamdagi tranzitivlik munosabati deyiladi. Agar xRy va yRz larning rostligidan xRz rostligi kelib chiqmasa, R ga tranzitivmas munosabat deyiladi.

Misollar. 1. Natural sonlar to’plamida aniqlangan qoldiqsiz bo’linish munosabati tranzitiv munosabat bo’ladi.

2. Natural sonlar to’plamidagi tengmaslik munosabati tranzitiv emas.

Haqiqatdan x=4, y=9 va z=4 qiymatlarda y≠z, lekin x=z.

Binar munosabatlarni umumiy xossalari.

1.Refleksiv: Ʉ( aє A ), < a:a >єτ aτa

2.Antirefleksiv: ˥ aτa

3.Simmetrik: aτb → bτa

4. Antisimmetrik: aτb ᴧ bτa

5.Tranzitivlik: aτb ᴧ bτc

Binar munosabatlarning asosiy xossalari 3 guruhga bo’linadi. Bular:

Komuntativlik, assotsiativlik, distributivlik.

1. Komuntativlik: aτb=bτa

2.Assotsiativlik: ( a*b )*c=a*( b*c )

3.Distributivlik: ( a+b )*c = a*c + b*c bo’ladi.

Misol. A tekslikdagi barcha to’g’ri chiziqlar barchatp’g’ri chiziqlar to’plami bo’lsin.

Ixtiyoriy a,b to’g’ri chiziqlar uchun

Paralellik munosabati

Agar A to’plamda aniqlangan R binar munosabat bir vaqtning o’zida refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R munosabatga ekvivalentlik mnosabati deyiladi.

Masalan: 1) istalgan bo’shmas A to’plam elementlari uchun aniqlangan tenglik munosabati;

2) to’g’ri chiziqlar ( bir tekisda yotuvchi ) to’plamida aniqlangan parallellik munosabati;

3) uchburchak to’plamidagi o’xshashlik munosabati;

4) geometrik figuralarning tengdoshlik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’ladi.

A to’plamda aniqlangan ekvivalentlik munosabati shu A to’plamni o’zaro kesishmaydigan sinflarda ajratish tushunchasi bilan uzviy bog’langan.

Biz endi shu tushunchani bayon etishga kirishamiz.

A to’plamning qism to’plamlarining A_α deb belgilaymiz.

Bu yerda α son { 1, 2, 3, ……….., k } = I to’plamning elementidir.

Ta’rif. Agar bo’shmas A to’plamning A_α (α є I, I є N)qism to’plamlari uchun quyidagi shartlar bajarilsa, ya’ni;

1. 
   Barcha A_α ( α = 1, 2, ………… ) qism to’plamlari bo’sh emas ;
   
2. 
   α ≠ β bo’lganda A_α ∩ A_β = ø ;
   
3. 
   A=U A_α bo’lsa ( bu yerda U A_α belgi barcha A_α larning birlashmasini ifodalaydi ). A to’plam o’zaro kesishmaydigan A_α qism to’plam (sinf ) larga bo’laklangan ( faktorizashiyalangan ) deyiladi.
   

Masalan, barcha butun sonlarni 3 ga bo’lib , ularni bo’lishdan hosil bo’lgan є Z} xosil bo’ladi. Bu yerda { 3k| k є Z }, { 3k + 1| k є Z } va { 3k + 2 | k є Z } to’plamlar

Quyidagi teorema o’rinli .

Teorema. Agar biror bo’sh bo’lmagan A to’plam elementlari uchun p ekvivalentlik munosabati bilan bo’g’langan bo’ladi.

Isboti. A to’plamning ixtiyoriy x elementiga p munosabat bo’yicha ekvivalent bo’lgan barcha elementlar to’plamini C_x deb belgilaymiz, ya’ni C_x = { y є A |ypx } .

C_x ning aniqlanishiga asosan C_x є A. xpx o’rinli bo’lgani uchun x є C_x. Demak, A ning har bir elementi qandaydir C_x qism to’plamga tegishli bo’ladi.

Endi C_x ∩ C_y = ø ekanligini ko’rsatamiz.

Agar C_x ∩ C_y ≠ ø bo’lsa, C_x =C_y bo’ladi. Bo’shqacha qilib aytganda, C_x ekvivalentlik sinfi bo’ladi. Haqiqatdan, C_x ∩ C_y ≠ ø bo’lganda C_x va C_y larga tegishli bo’lgan z element topiladi. Unda z є C_x bo’lgani uchun zpx rost. Xuddi shuningdek , z є C_y bo’lganidan zpy ham o’rinli. P munosabat tranzitiv bo’lgani uchun xpz va zpy lardan xpy yoki x є C_ybo’ladi.

X element C_x ning ixtiyoriy elementi ekanligini

C_x є C_y ( 1 )

dir. P munosabat simmetrik munosabat bo’lgani tufayli ypz va zpy munosabatlar ham bajariladi. Bu munosabatlar y є C_x va z є C_y ekanligini ko’rsatadi.

P munosabat tranzitiv bo’lgani uchun ypz larga asosan ypx deb olamiz. Oxirgi asosan

C_y є C_x ( 2 )

bo’ladi. (1) va (2) dan C_x=C_y ligi kelib chiqadi.

Agar a, b є C_x bo’lsa, unda apy lar o’rinli bo’ladi. Unda p simmetrik munosabat bbo’lganidan xpb o’rini bo’ladi. apx va xpb lardan esa apb hosil bo’ladi. Demak, ikkita element bitta sinfga tegishli bo’lsa, unda ular ekvivalent bo’lar ekan. Xuddi shuningdek, agar apb bo’lsa, a є C_b va b є C_b bo’ladi. Teoremaning birinchi qismi isbotlandi.

Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik, {B_α} to’plam α ЄN, A to’plamning qandaydir faktorizatsiyasi bo’lsin. X єB_α va y єB_α bo’lganda va faqat shundagina xpy deb olamiz, bu qisqacha

x, y єB_α→ xpy

orqali yoziladi.

Unda: 1) xar bir x ЄA element bittagina qism to’plamga tegishli bo’lganidan xpx o’rinli, ya’ni p munosabat refleksiv;

2) x, y єB_α va y, z єB_α (4) bo’lsa, yuqoridagi (3) munosabatga asosan xpy va ypz bo’ladi. Lekin y єA element faqat bitta qism sinfga tegishli bo’lgani uchun B_α= B_β dir. Oxirgi munosabat esa (4) ga asosan x, z єB_β ekanligini ko’rsatadi. (3) munosabatga binoan esa x, y єB_β ni xpz deb yoza olamiz. Shunday qilib, xpy va ypz lardan xpz ning o’rinli ekanligi hosil qilindi. Demak, p munosabat tranzitiv ekan;

3) x, y єB_α ekanligi x va y ning bitta sinfga tegishli ekanligini bildirgani uchun xpy va ypx munosabatlar bajariladi. Demak, p munosabat simmetrik munosabat bo’ladi. 1) - 3) lar esa p ning A to’plamdagi ekvivalentlik munosabati ekanligini tasdiqlaydi. Teorema to’la isbot bo’ldi.

1-ta’rif. Agar A to’plamda p ekvivalent munosabati yordamida ekvivalentlik sinflariga ajratilgan bo’lsa, u holda bu ekvivalentlik sinflari to’plamiga factor to’plam deyiladi va uni A/p ko’rinishida belgilanadi.

2-ta’rif. Ʉa єA uchun a orqali A to’plamning a ga ekvivalent bo’lgan barcha elementlarini belgilaymiz va bu to’plamni a element yaratgan ekvivalentlik sinfi deb ataymiz. R ekvivalentlik munosabati bo’yicha aniqlangan barcha ekvivalentlik sinflari to’plami A to’plamning R ekvivalentlik munosabati bo’yicha faktor- to’plami deyiladi.

Misollar: 1. Barcha natural sonlar to’plamini qaralayotgan natural sonning tub yoki tub emasligi bo’yicha ham faktorizatsiyalash mumkin.

2. M barcha ko’pburchaklar to’plamini ifodalasin. Bu ko’pburchaklar to’plamini tomonlari soni bo’yicha tanlab olsak, ekvivalentlik sinflari hosil bo’ladi.

3. To’rtburchaklar to’plamida ekvivalentlik munosabati sifatida tomonlarining paralelligi tushunchasini kiritsak, mazkur to’plam uchta ekvivalentlik sinfiga bo’linadi. Ular;

a) parallelogramlar;

b) trapetsiyalar;

c) hech qanday ikkita tomoni parallel bo’lmagan to’rtburchaklar to’plamidan iborat.