Algebra va sonlar nazariyasi



Download 0,7 Mb.
bet8/72
Sana08.03.2022
Hajmi0,7 Mb.
#486497
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   72
Isbot. a = r(cos p + i sin p) va / = p(cos / + i sin /) va kompleks sonlar berilgan bo‘lsin. U holda a

  • = r (cos p + i sin p)p- (cos(-/) + i sin(-/)) =


= r - p 1 (cosp - /) + i sinp - /))


bo‘lib, bundan


27


= r p-1 = — = — p \p\




Shuningdek,


a
arg— = ф-у = argp-arg^


kelib chiqadi.

  1. ta’rif. a va со kompleks sonlari va n natural son uchun
    on =a tenglik o‘rinli bo‘lsa, со kompleks son a sonning n-darajali
    ildizi deyiladi.

Quyidagi teoremada kompleks sondan n-darajali ildiz chiqazish
formulasini keltiramiz.

  1. teorema. Ixtiyoriy kompleks son n ta turli n-darajali ildizga

ega bo‘lib, ular quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
cp + 2 жк Л . ( cp + 2 жк ,
+ /'sin - , к = 0, n-1.


cos |
n ) V n


Isbot. a sonining n-darajali со kompleks ildizini
оo = p(cose + i sine) ko‘rinishida izlaymiz. Muavr formulasiga asosan
со" = pn (cos пв + i sin пв) = r(cos q> + i sin cp).
Bundan pn=r, пв = (p + 2як, к e Z kelib chiqadi. Bu tenglik-
lardan p = tfr, в = ^ + , к e Z ni olamiz. Demak, a ning har bir
n
n -darajali ildizi ushbu
(ср + 2жкЛ . (ср + 2жк\ i , , cos +zsm , «e,


n ) V n ko‘rinishga keladi, va aksincha, bunday ko‘rinishga ega bo‘lgan har qanday kompleks son a ning n-darajali ildizidir.
Endi k ga 0, 1, 2, ..., n — 1 qiymatlar berib, co0, f, cd2,..., ^ larni topamiz, bularning hammasi turlicha bo‘ladi, chunki k ni bittaga




°0

= 6/2|

' 7— cos—
V j2

o

= ^21

\
^ 5—
cos
3

co2 =

= ^2 J

V
23- cos








hosil bo‘ladi, bu yerda к = 0Д,2. Bundan
. 7—
i sin —
. 5—
i sin—
3
. 23—

  1. sin

. j2
uchta turli ildizlari hosil bo‘ladi.
Endi bir sonning «-darajali kompleks ildizlari ustida to‘xtalamiz.
Agar a = j = cos 0 + i sin 0 deb olsak, u holda 1 ning «-darajali ildizlari


= nil =


cos


2—к


2—к


к = 0, n - j


29


s


к


bo‘ladi va birning barcha n darajali ildizlari n ta e0 = 1,e,e2,...,en_x kompleks sonlar to‘plamidan iboratdir. Ushbu to‘plamni n kabi belgilab olamiz.



  1. teorema. Birning barcha ildizlari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.

  1. ek,em e<e >n uchun ek • em e<e>n;

  2. ek e< e >„ uchun (ek)—1 e<e>n.

Isbot. a) Haqiqatan, agar ek,em e>n, 0 < k,m < n-1 bo‘lsa, (ekem)n = ek - em = 1 -1 = 1.


-1 / —1 b) e ning teskarisi ek bo‘lsa, (e- )


( i X


Vek )


= — = 1 bo‘ladi.


Muavr formulasiga asosan ek =ef. Demak, n to‘plam el ildizning darajalari orqali ifodalanadi.

  1. ta’rif. Agar birning n-darajali ildizi ek uchun

{ek ,ek,ek".,ek} =< e >n
shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ek birning n-darajali boshlang‘ich ildizi deyiladi.
(2ftk Л . (2ftk Л

  1. tasdiq. ek = cos I 1 + г sin I I ildiz birning boshlan-

g‘ich ildizi bo‘lishi uchun k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lsin. U holda ek boshlang‘ich ildiz ekanligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni shunday щ va n2, (0 < n < n2 < n -1) sonlari topilib, eЩ = e^
bo‘lsin. U holda el2^ = 1 bo‘lib, bundan esa, Г2жЖ(n2—= Int,
n
ya’ni k-( -n) = t-n hosil bo‘ladi. Ushbu tenglikdan k va n o‘zaro tub va n - n < n ekanligini hisobga olsak, n2 = ^ kelib chiqadi. Demak, ek boshlang‘ich ildiz.







( 2 nk \

( 2 nk Л

( 2 nk ^




( 2 nk

cos

1 + /sin

I = cos



+ г sin






V n J

V n J

V n j




V n J


Bundan esa, s" = j ekanligi kelib chiqadi. sk boshlang‘ich ildiz ekanligi uchun ^ = n, ya’ni d = L
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, agar n = p tub son bo‘lsa, S ,s2 ,-,^i larning hammasi boshlang‘ich ildiz bo‘ladi.
Misol 6.3. Birning 3-darajali ildizlarini toping.
22sk = cos ——— + i sin , к = 0Д, 2 ekanligidan:
S0 = j,
2n . 2n j V3
S = cos + i sin— = + i—,
j 3 3 2 2
4n .An j V3
s = cos + i sin— = i—.

  1. 3 3 2 2

kelib chiqadi. s ,S lar birning 3-darajali boshlang‘ich ildizlaridir.


к


31


  1. BOB. MATRITSALAR VA DETERMINANTLAR


  1. - §. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar

Bizga dastlabki n
ta natural sonlar (1,2,...,n) berilgan bo‘lsin. Bu sonlarni o‘sish tartibida joylashishdan tashqari boshqa usullar bilan ham tartiblash mumkin. Masalan, n = 3 bo‘lgan holda (1,2,3) uchlikni (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,2,1) va (3,1,2) kabi tartiblarda joylash- tirishimiz mumkin.

  1. ta’rif. 1, 2,..., n sonlaming ma’lum bir tartibdagi joylashi- shiga n ta sondan tuzilgan o‘rin almashtirish deyiladi.


Download 0,7 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   72




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish