Isbot. a = r(cos p + i sin p) va / = p(cos / + i sin /) va kompleks sonlar berilgan bo‘lsin. U holda a
= r (cos p + i sin p)p- (cos(-/) + i sin(-/)) =
= r - p 1 (cosp - /) + i sinp - /))
bo‘lib, bundan
27
= r p-1 = — = — p \p\
Shuningdek,
a
arg— = ф-у = argp-arg^
kelib chiqadi.
ta’rif. a va со kompleks sonlari va n natural son uchun
on =a tenglik o‘rinli bo‘lsa, со kompleks son a sonning n-darajali
ildizi deyiladi.
Quyidagi teoremada kompleks sondan n-darajali ildiz chiqazish
formulasini keltiramiz.
teorema. Ixtiyoriy kompleks son n ta turli n-darajali ildizga
ega bo‘lib, ular quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
cp + 2 жк Л . ( cp + 2 жк ,
+ /'sin - , к = 0, n-1.
cos |
n ) V n
Isbot. a sonining n-darajali со kompleks ildizini
оo = p(cose + i sine) ko‘rinishida izlaymiz. Muavr formulasiga asosan
со" = pn (cos пв + i sin пв) = r(cos q> + i sin cp).
Bundan pn=r, пв = (p + 2як, к e Z kelib chiqadi. Bu tenglik-
lardan p = tfr, в = ^ + , к e Z ni olamiz. Demak, a ning har bir
n
n -darajali ildizi ushbu
(ср + 2жкЛ . (ср + 2жк\ i , , cos +zsm , «e,
n ) V n ko‘rinishga keladi, va aksincha, bunday ko‘rinishga ega bo‘lgan har qanday kompleks son a ning n-darajali ildizidir.
Endi k ga 0, 1, 2, ..., n — 1 qiymatlar berib, co0, f, cd2,..., ^ larni topamiz, bularning hammasi turlicha bo‘ladi, chunki k ni bittaga
°0
|
= 6/2|
|
' 7— cos—
V j2
|
o
|
= ^21
|
\
^ 5—
cos
3
|
co2 =
|
= ^2 J
|
V
23- cos
|
|
|
hosil bo‘ladi, bu yerda к = 0Д,2. Bundan
. 7—
i sin —
. 5—
i sin—
3
. 23—
sin
. j2
uchta turli ildizlari hosil bo‘ladi.
Endi bir sonning «-darajali kompleks ildizlari ustida to‘xtalamiz.
Agar a = j = cos 0 + i sin 0 deb olsak, u holda 1 ning «-darajali ildizlari
= nil =
cos
2—к
2—к
к = 0, n - j
29
s
к
bo‘ladi va birning barcha n darajali ildizlari n ta e0 = 1,e,e2,...,en_x kompleks sonlar to‘plamidan iboratdir. Ushbu to‘plamni n kabi belgilab olamiz.
teorema. Birning barcha ildizlari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.
ek,em e<e >n uchun ek • em e<e>n;
ek e< e >„ uchun (ek)—1 e<e>n.
Isbot. a) Haqiqatan, agar ek,em e>n, 0 < k,m < n-1 bo‘lsa, (ekem)n = ek - em = 1 -1 = 1.
-1 / —1 b) e ning teskarisi ek bo‘lsa, (e- )
( i X
Vek )
= — = 1 bo‘ladi.
Muavr formulasiga asosan ek =ef. Demak, n to‘plam el ildizning darajalari orqali ifodalanadi.
ta’rif. Agar birning n-darajali ildizi ek uchun
{ek ,ek,ek".,ek} =< e >n
shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ek birning n-darajali boshlang‘ich ildizi deyiladi.
(2ftk Л . (2ftk Л
tasdiq. ek = cos I 1 + г sin I I ildiz birning boshlan-
g‘ich ildizi bo‘lishi uchun k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lsin. U holda ek boshlang‘ich ildiz ekanligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni shunday щ va n2, (0 < n < n2 < n -1) sonlari topilib, eЩ = e^
bo‘lsin. U holda el2^ = 1 bo‘lib, bundan esa, Г2жЖ(n2—= Int,
n
ya’ni k-( -n) = t-n hosil bo‘ladi. Ushbu tenglikdan k va n o‘zaro tub va n - n < n ekanligini hisobga olsak, n2 = ^ kelib chiqadi. Demak, ek boshlang‘ich ildiz.
|
( 2 nk \
|
( 2 nk Л
|
( 2 nk ^
|
|
( 2 nk
|
cos
|
1 + /sin
|
I = cos
|
|
+ г sin
|
|
|
V n J
|
V n J
|
V n j
|
|
V n J
|
Bundan esa, s" = j ekanligi kelib chiqadi. sk boshlang‘ich ildiz ekanligi uchun ^ = n, ya’ni d = L
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, agar n = p tub son bo‘lsa, S ,s2 ,-,^i larning hammasi boshlang‘ich ildiz bo‘ladi.
Misol 6.3. Birning 3-darajali ildizlarini toping.
2^к 2^к sk = cos ——— + i sin , к = 0Д, 2 ekanligidan:
S0 = j,
2n . 2n j V3
S = cos + i sin— = + i—,
j 3 3 2 2
4n .An j V3
s = cos + i sin— = i—.
3 3 2 2
kelib chiqadi. s ,S lar birning 3-darajali boshlang‘ich ildizlaridir.
к
31
BOB. MATRITSALAR VA DETERMINANTLAR
- §. O‘rin almashtirishlar va o‘rniga qo‘yishlar
Bizga dastlabki n ta natural sonlar (1,2,...,n) berilgan bo‘lsin. Bu sonlarni o‘sish tartibida joylashishdan tashqari boshqa usullar bilan ham tartiblash mumkin. Masalan, n = 3 bo‘lgan holda (1,2,3) uchlikni (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,2,1) va (3,1,2) kabi tartiblarda joylash- tirishimiz mumkin.
ta’rif. 1, 2,..., n sonlaming ma’lum bir tartibdagi joylashi- shiga n ta sondan tuzilgan o‘rin almashtirish deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |