Algebra va sonlar nazariyasi



Download 0,7 Mb.
bet6/72
Sana08.03.2022
Hajmi0,7 Mb.
#486497
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   72
f akslantirishning teskarisi deyiladi va g = f-1 kabi belgilanadi. Teskarisi mavjud bo‘lgan akslantirishga teskarilanuvchi akslantirish deyiladi.


  1. teorema. Agar f akslantirishga teskari akslantirish mavjud bo‘lsa, u yagonadir.

Isbot. Faraz qilaylik, g va g' akslantirishlar f akslantirishning teskarisi bo‘lsin, ya’ni
g°f = eA,f°g = eB va fog' = eA, g'°f = eB.
U holda
g' = eA°g' = (g0f)0g' = g0(f0g') = g°eB=g-


  1. teorema. Agar f: A ^ B va g: B ^ A akslantirishlar uchun f = eA tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda /-inyektiv, g- syurektiv akslantirishlar bo‘ladi.

Isbot. Haqiqatan ham, x, x2 e A va f (xj) = f (x2) bo‘lsin. U holda
*1 = Oi ) = (g°f)xi = g(/Oi)) = gif (x2)) = (x2) = x2 ekanligi kelib chiqadi, demak, f - inyektiv.
Ixtiyoriy x g A element uchun
x = eA (x) = (g о f)(x) = g(f(x)) ekanligidan esa g akslantirishning syuryektivligi kelib chiqadi. □

  1. teorema. Xar qanday biyektiv akslantirish teskarila- nuvchidir.

Isbot. Aytaylik, f: A ^ B biyektiv akslantirish bo‘lsin. U holda ihtiyoriy y e B uchun yagona x e A element topilib, f (x) = y bo‘ladi. g(y) = x ko‘rinishida aniqlangan g: B ^ A akslantirish f akslan-tirishga teskari akslantirish bo‘ladi. □

  1. natija. Biyektiv f akslantirishning teskarisi ham biyektiv

bo‘ladi va (f4)4 = f tenglik o‘rinlidir.

  1. natija. f:A^>B, g.B^C biyektiv akslantirishlaming g° f kompozitsiyasi ham biyektiv bo‘ladi va (g ° f) ' = / 1 °g 1.


17


  1. BOB. KOMPLEKS SONLAR


  1. - §. Kompleks sonlar va ular ustida amallar

Bizga M haqiqiy sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin. C = MxM to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
(a, b) + (c, d) = (a + c,b + d),
(a,b)- (с, d) = (ac - bd, be + ad).
Ravshanki, С da aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari uchun quyidagi shartlar bajariladi:

  1. qo‘shishning kommutativligi: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b),

  2. qo‘shishning assotsiativligi:

[(a, b) + (c, d)] + (e,f) = (a, b) + [(c, d) + (e,f)],

  1. ko‘paytirishning kommutativligi (a, b) ■ (c, d) = (c, d) ■ (a, b),

  2. ko‘paytirishning assotsiativligi:

[(a,b) ■ (c, d)] ■ (e,f) = (a, b) ■ [(c, d) ■ (e,f )]■
Ushbu qonunning o‘rinli ekanligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:
[(a, b) ■ (c, d)] ■ (e, f) = (ac - bd, ad + bc) ■ (e, f) =
= ace - bde - adf - bcf + acf - bdf + ade + bcf,
(a,b) ■ [(c, d) ■ (e, f)] = (a, b) ■ (ce - df, cf + de) =
= ace - bde - adf - bcf + acf - bdf + ade + bcf ■

  1. distributivlik qonuni:

[(a, b) + (c, d)] ■ (e,f) = (a, b) ■ (e,f) + (c, d) ■ (e, f);
Qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bog‘lovchi ushbu distributivlik qonuni ham o‘rinli bo‘lishini tekshirish qiyin emas:
[(a,b) + (c, d)] ■ (e, f) = (a + c, b + d) ■ (e, f) =
= (ae + ce - bf - df, af + cf + be + de),
(a, b) ■ (e,f) + (c, d) ■ (e,f) = (ae - bf, af + be) + (ce - df, cf + df) =
= (ae + ce-bf -df,af + cf + be + de).
Ta’kidlash joizki, (0,0) element С to‘plamning trivial (nol) elementi, (1,0) element esa birlik elementi bo‘ladi, ya’ni:


(a, b) + (0,0) = (0,0) + (a, b) = (a, b), (a,b)-(\,0) = (\,0)-(a,b) = (a,b).




Ma’lumki, ixtiyoriy (a,b) С element qarama-qarshi (-a,—b) elementga ega.
Endi biz С to‘plamdagi ixtiyoriy noldan farqli (a,b) elementning teskarilanuvchi ekanligini ya’ni (a, b) ■ (x, y) = (1,0) tenglama yechimga ega ekanligini ko‘rsatamiz. Ushbu tenglamadan quyidagiga ega bo‘lamiz


Bu tenglikdan quyidagi ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi
fax - by = 1,
[bx + ay = 0^
Ma’lumki, bu sistema (a,b)
Ф (0,0) bo‘lganda yechimga ega
a —b bo‘lib, x = — , y = — ekanligi kelib chiqadi.
a2 + b a + b
Demak, (a,b) element uchun teskari element


ko‘rinishga ega bo‘ladi.

  1. ta’rif Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari aniqlangan С to‘plamga kompleks sonlar to ‘plami, uning elementlari esa kompleks sonlar deb ataladi.

Kompleks sonlar to‘plamining (a,
0) ko‘rinishidagi elementlari to‘plamini Mj orqali belgilaymiz. С da kiritilgan qo‘shish va ко‘paytirish amallarini Mj daqaraymiz:


Ushbu tengliklardan ko‘rinadiki, Mj to‘plamdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari, haqiqiy sonlar to‘plamidagi amallar kabi aniqlanadi.


(ax - by, ay + by) = (1,0)





(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) • (c, 0) = (ac, 0).


19


Mj va M to‘plamlar orasida /((a,0)) = a kabi /:Mj—


moslik o‘rnatsak, yuqoridagi tengliklardan ushbu moslik ko‘paytma va yig‘indi amallarini saqlashi kelib chiqadi. Demak, (a,0) = a deb olish mumkin.
Agar (0,1) elementni i orqali belgilasak,
z2 = (0,1) - (0,1) = (—1,0) = —1 bo‘ladi. Ushbu ;eC elementga mavhum birlik deyiladi. Ixtiyoriy (a,b) e С uchun
(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (6,0)-(0,l) = a + bi tenglikni yozishimiz mumkin. Shunday qilib, С kompleks sonlar to‘plamining ixtiyoriy elementini z = a + bi shaklda yozish mumkin. Bu shaklga kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks sonning algebraik shaklidagi a songa kompleks sonnning haqiqiy qismi deyiladi va Re(z) orqali belgilanadi. Undagi b soni esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im(z) orqali belgilanadi. Mavhum qismi nolga teng bo‘lgan kompleks sonlar haqiqiy sonlar bo‘lsa, haqiqiy qismi nol bo‘lgan kompleks sonlar mavhum kompleks sonlar deyiladi.
Ushbu z = a - bi kompleks soni z = a + bi kompleks soniga qo‘shma kompleks son deyiladi. Qo‘shma kompleks sonlar uchun z + z = (a + bi) + (a - bi) = 2a, z • z = (a + bi) • (a - bi) = a2 + b2 tengliklar o‘rinli, ya’ni kompleks sonning o‘z qo‘shmasiga yig‘indisi va ko‘paytmasi haqiqiy son bo‘ladi.

  1. xossa. Kompleks sonlarning qo‘shmasi quyidagi xossalarga

ega:

  1. z + z2 = zj + z2;

  2. zj -z2 = zj -z2;

  3. Z1z2 = z! • z2;


d)




V z2 ]


Kompleks sonning teskarisini topishda uning qo‘shmasidan foydalanish juda qulay hisoblanadi:


\


j a - bi a - bi


a


b


a + bi a + bi a - bi a + b a + b a + b


  1. tasdiq. Bizga z = a + bi kompleks son berilgan bo‘lib, u + vi uning kvadrat ildizi bo‘lsin, u holda


u = ±,


v = ±.


!■ |-a + Va2 + b2 j.


Isbot. Aytaylik, -Ja + bi = u + vi bo‘lsin. U holda bu tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak,
(u + vi)2 = a + bi tenglikni hosil qilamiz. Bundan


( 2 2
u - v = a,


2uv = b.


(4.1)


tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadagi tenglamalarning har birining ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib, so‘ngra ularni qo‘shsak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(u2 - v2)2 + 4u2v2 = (u2 + v2)2 = a
2 + b2.
So‘nggi tenglikdan u2 + v2 =*J a2 + b2 (ildiz musbat ishorali, chunki tenglikning chap tomoni musbat sondir). Bu tenglikdan va tenglamalar sistemasi birinchi tenglamasidan quyidagilarni hosil qilamiz:
u2 = j^a Wa2 + b2 j, v2 = ^-a + Va2 + b2 j.



Download 0,7 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   72




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish