Algebra va sonlar nazariyasi

6-ta’rif. A to‘plamning B ga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan va B to‘plamning A ga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan to‘plam A va B to‘plamlar-ning simmetrik ayirmasi deyiladi va AB kabi belgila-nadi:
AB  A \ B U B \ A.
Demak, a AB bo‘lishidan a A, aB yoki aB, a A bo‘lishi kelib chiqadi.
7-ta’rif. Aytaylik, a A, aB bo‘lsin. Barcha tartiblangan a,b ko‘rinishidagi juftliklardan tuzilgan to‘plam A va B to‘plamlarning dekart ko‘paytmasi deyiladi va A B kabi belgilanadi. Demak, A B  (a,b) a A, bB. Xususan, A  B bo‘lganda 2 A A  A deb qaraladi. 8-ta’rif. Aytaylik, S va A to‘plamlar berilgan bo‘lib, A  S bo‘lsin.Ushbu
S \ A
to‘plam A to‘plamni S ga to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va CA yoki C_S A kabi belgilanadi:
CA  S \ A.
To‘plamlar ustida bajariladigan amallarning ba’zi xossalarini keltiramiz. A, B va D to‘plamlari berilgan bo‘lsin.
1) A B , B  D bo‘lsa, A D bo‘ladi;
2) A A  A, A A  A bo‘ladi;
3) A B bo‘lsa, A U B  B, A B  A bo‘ladi;
4) A U B  B U A, A B  B A bo‘ladi;
5) (AU B) U D  AU(B U D), (A B) D  A (B D) bo‘ladi;
6) A S bo‘lsa, A CA   ;
7) C(AU B) CA CB , bunda A S , B  S ;
8) C(A B) CA CB , bunda A S , B  S . Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan ta’rif-lardan kelib chiqadi.
1-misol. Ushbu (A \ B) U (B \ A)  (AU B) \ (A B) (1)
tenglik isbotlansin.
◄ a(A \ B) (B \ A) bo‘lsin. U holda
a(A \ B): a A, aB
yoki
a(B \ A): aB, a A
bo‘ladi. Bundan esa
a(A B), a(A B)
bo‘lib,
a(A B) \ (A B)
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
(A \ B) U (B \ A)  (AU B) \ (A B). (2)
Aytaylik, aAUB\A B bo‘lsin.
U holda
aAU B: a A ёки aB,
aA B: a A, aB ёки a A, aB ёки a A, aB
bo‘ladi.
Bundan esa
a A \ B ёки aB \ A
bo‘lib,
a(A \ B) U(B \ A)
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
(AU B) \ (A B)  (A \ B) U(B \ A). (3)
(2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning o‘rinli bo‘lishi topiladi. ►
To‘plamlar ustida bajariladigan amallarni bayon etishda to‘plamlarning qanday tabiatli elementlardan tuzil-ganligiga e’tibor qilinmadi.
Aslida, keltirilgan amallar biror universal to‘plam deb ataluvchi to‘plamning qismiy to‘plamlari ustida bajari-ladi deb qaraladi. Masalan, natural sonlar to‘plamlari ustida amallar bajariladigan bo‘lsa, universal to‘plam sifatida barcha natural sonlardan iborat N to‘plamni olish mumkin.