Al-Xorazmiy va uning matematik merosi "Algebra deb ataluvchi bu san’atni Muso o’g’li Muhammad boshlab bergan"

Aim.Uz

Al-Xorazmiy va uning matematik merosi



"Algebra deb ataluvchi bu san’atni Muso o’g’li Muhammad boshlab bergan"

Jirolamo Kardano (1501-1576), italyan matematigi

"Arabchasiga algebra va almuqobala deb atalgan buyu san’at Muso o’g’li Muhammad tomonidan kashf etilgan".

Nikola Tartalya (1500-1557), italyan matematigi

"Xorazmiy asarlari - yevropa fani boshlanishidir, uning o’zi Diofantga qaraganda algebraning otasi deb atalishiga ko’proq haqlidir"

S.Gands (1887-1957), fan tarixchisi

"Al-Xorazmiy - o’z zamonasining buyuk matematigi,va agar barcha holatlarni ham hisobga olsak, barcha davrlar buyuk matematiklaridan biridir"

J.Sarton(1884-1956) amerikalik fan tarixchisi.

Reja:

• 
  1.Al-Xorazmiy yashagan davr va uning ilmiy faoliyati.
  
• 
  2. Al-Xorazmiyning hayoti va ijodi.
  
• 
  3. Al-Xorazmiy algebra fani asoschisi
  
• 
  4.Xorazmiyning arifmetika va algebra rivojiga hissa qo’shgan asarlari mazmuni.
  
• 
  5.Al-Xorazmiy asarlari ro’yxati.
  

Tayanch iboralar: algebra, fan,tenglamalar, matematika, darslar.

1. Al-Xorazmiy yashagan davr va uning ilmiy faoliyati

VII asrning birinchi yarmida, Muhammad (s.a.v.) payg’ambar vafotidan so’ng, arablar Arabiston yarimi orolidan avvaldan yashab kelganliklari uchun uni butunlay o’zlariga qaratdilar va bir necha o’n yilliklar davomida katta davlatni tuzdilar. Ular Eron podsholigining butun hududini - Fors qo’ltig’idan Kavkazgacha - Ozarbayjon, Armaniston, Gruziya, Suriya, Misr, Shimoliy Afrikani egalladilar. Ular Gibraltar orqali Ispaniyani ham egalladilar. So’ngra arablar franklar qirolligiga hujum uyushtirdilar. Arablarning Yevropa bo’ylab yurishi 732 yilda to’xtatildi, bu Puatye jangida sodir bo’ldi va ular mag’lubiyatga uchradilar.

Osiyo bo’ylab arablar Xitoygacha yetib borishdi va 751 yilda Talasdagi jangda xitoy qo’shinlariga katta zarba berdilar. Sharqiy Eron va Afg’onistonni egallab, arablar Shimoliy-G’arbiy Hindistonga bostirib kirdilar. Shunday qilib, VII va VIII asr birinchi yarmida ulkan davlat -poytaxti Damashqda bo’lgan Arab xalifaligi vujudga keldi. Atlantika qirg’oqlaridan Hindiston va Xitoygacha bo’lgan arab xalifaligi qudrati jo’sh urgan davrdagi Rim imperiyasidan ham katta huddudni o’z ichiga olgan edi.

Arab istilosi bo’ysungan xalqlar orasida til va arablar dini -islomning tarqalishiga asos bo’ldi. Bir vaqtning o’zida Arab xalifaligi hududida grek olimlari kelishi munosabati bilan Yaqin va O’rta Sharqqa kirib kelgan antik an’anaga va bo’ysungan xalqlar ilmiy yutuqlariga qator davlatlarga bo’linib ketsada, ularda ilm tili bo’lib qolgan arab tili saqlanib qoldi.

IX-XII asrlarda arab tilli mamlakatlarda fan gullab yashnadi. Xalifalik poytaxti bo’lgan Bag’dod ulkan ilmiy markazga aylandi. Bu yerda Platon, Aristotel, Yevklid, Arximed, Ptolemey asarlarini tarjima qilib va sharhlash bilpan shug’ullanuvchi tarjimonlar va kotiblar, olimlar faoliyat ko’rsatar edi. Ish faqat birovlarning ishlaridan nusxa olishdan iborat bo’lmay, ular bu tadqiqotlarni davom ettirdilar va yangi ishlarni bajardilar, observatoriyalar qurdilar, asboblar yasadilar, mustaqil kuzatishlar olib bordilar. Matematik masalar uchun materialni esa Sharq savdogarlarining keng rivojlangan savdo-sotig’i berar edi. Uzoq sayyohatlar esa astronomiya va geografiya rivojlanishiga, hunarmandchilikning rivojlanishiga, tajribaviy fanning rivojlanishiga katta ta’sir ko’rsatdi.

786 yildan 809 yilgacha hukmronlik qilgan Xorun al-Rashid tabiiy fanlar va matematika fanlari rivojlanishiga homiylik qildi. Uning davrida Bag’dodda katta kutubxona ochilib, har bir mashhur kishi o’z atrofiga mashhur shoirlar, olimlar, Qur’oni Karimni biluvchilarni to’plashga harakat qilar edi. Ular qanchalik ko’p bo’lsa uning obro’si va shuhrati oshar edi. Katta shaharlarda machitlar qoshida oliy musulmon maktablari-madrasalar qurildi.

Xorun al-Rashidning o’g’li xalif al-Ma’mun olimlarni o’ziga xos akademiyaga- Donishmandlar uyi deb atalgan ilmiy maskanga yig’di. Bunda yaxshi jihozlangan rasadxona bor edi. Qizig’i shundaki, Vizantiya imperatori bilan tinchlik shartnomasiga al-Ma’mun talabi bilan unga ko’pgina grek qo’lyozmalarni berish ham kiritilgan edi. Ular orasida arablarga Ptolemeyning "Buyuk matematik bunyodkorlik" asari ham tushdi va u arab tiliga tajima qilindi. Arab tarjimalari orqali O’rta asr Yevropasi kafedralari Geronning "Mexanikasi", Filoning "Pnevmatika"si, Aristotel, Ptolemey, Arximed ishlari bilan tanishganlar.

Donishmandlik uyida ishlagan olimlardian biri Al-Xorazmiy edi. Al-Xorazmiyning matematika va astronomiyadagi xizmatlari shunday beqiyoski, uning nomi O’rta asr Yevropasida algoritmus matematik atamasiga aylandi. Al-Xorazmiy birinchi bo’lib, sinuslar jadvalini bergan edi, tangens kiritildi, uning astronomiya bo’yicha jadvalidan keyinchalik Sharq va Yevropa olimlari keng foydalanganlar. Olimga katta shuhrat keltirgan uning matematik asarlari hisoblanadi. Uning arifmetik risolasi Yevropani hind pozision sistemasi nol, arab raqamlari, butun sonlar va kasrlar ustida amallar bilan tanishtirdi.

Al-Xorazmiy algebraik risolasida ikkita maxsus amal kiritgan. Birinchsi-to’ldirish-manfiy sonni tenglamaning bir tomonidan ikkinchisiga o’tkazish bo’lib, undan al-jabrdan algebra so’zi kelib chiqdi. Bir matematik bu qoidani quyidagicha ifodalagan:

Tenglamani yechishda,

Agar biror qismida,
Farqi yo’q qaysisida,
Manfiy had uchrasa,
Biz har bir tomonga,
Teng had beramiz,
Faqat boshqacha ishora bilan,
Va musbat natijani topamiz.

Ikkinchi amal - val –muqobala - tenglamaning ikkala qismlarida teng hadlarni qisqartirish hisoblanadi.

Al-Xorazmiy risolalari matematika bo’yicha arab tilidan lotin tiliga Yevropada tarjima qilingan birinchi asarlardan edi, XVI asrgacha algebra algebra va muqobala san’ati deb atalgan edi. Sharq matematiklaridan meros bo’lgan chiziqli va kvadrat tenglamalar haqidagi ta’limot Yevropada algebra rivojlanishi uchun asos bo’ldi. Al-Xorazmiy mexanika bilan ham shug’ullangan. Bu fanga uning «Fanlar kitobi» bir bobi bag’ishlangan. Bu kitobda mashinalar tavsifi va ularni ishlatish bo’yicha tavsiyalar berilgan bo’lib, harbiy mashina va pnevmatik asboblarga bag’ishlangan bo’lim ham mavjud bo’lgan.

Ma’lumki Al-Xorazmiy kvadrat tenglamalar nazariyasi bilan shug’ullangan. U tenglamani yechgan. Siz ham yechib ko’ring va uning yechimini al-Xorazmiy bajargan amallar bilan taqqoslab ko’ring: «Kvadratlar va sonlar ildizlarga teng. Qoida. Ildizlar sonini ikkiga bo’l, 5 hosil bo’ladi. Buni uning tengiga ko’paytir. 25 bo’ladi. Undan 21 ni ayir, 4 qoladi. Undan kvadrat ildiz chiqar, 2 bo’ladi. Buni 5 dan ayir, 3 hosil bo’ladi. Bu sen izlagan ildiz bo’ladi. Bu ildizni ildizlar soni yarmiga qo’sh, 7 bo’ladi. Bu ham ildiz"

2.Al-Xorazmiyning hayoti va ijodi

Markaziy Osiyolik matematik olimlar orasida eng mashhurlaridan biri Abu Abdulloh Muhammad Ibn Muso al-Xorazmiy (783-850). Yuqorida zikr etilgan Bag’doddagi Donishmandlik uyida matematika bilan shug’ullandi. Uning matematika bo’yicha yozgan risolalari: «Kitob al-jabr val muqobala», «Hind hisobi haqida qisqacha kitob», «Astronomik jadvallar», «Kitobul-suratul-arz». «Hind hisobi haqida qisqacha kitob» asari Evropada hind pozision sistemasining tarqalishida muhim rol o’nadi. «Kitob al-jabr val- muqobala» asarida algebra mustaqil fan sifatida (matematikaning bir bo’limi) birinchi bo’lib o’rganib chiqildi. Bu risola ikki qismdan iborat bo’lib, birinchi qismida algebraik miqdorlar ustida amallarni hisoblash bajarish qoidalari, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar ko’rib chiqilgan. Qoidalar va yechimlar so’z bilan bayon etilgan. Noma’lum ildiz yoki buyum deb noma’lumning kvadrati - kvadrat deb atalgan. Kvadrat tenglamalar geometrik usulda yechilgan. Ikkinchi qismda esa geometrik masalalar bayon etilgan. Unda 3 va 10 sonlarining bir-biriga yaqinligi hamda bundan tashqari, 3,1416 kabi qiymatlari keltirilgan. By asar lotin tiliga XII asrda tarjima qilingan va ko’p vaqtlar davomida Yevropa mamlakatlarida matematika bo’yicha asosiy qo’llanma bo’lib keldi. Al-Xorazmiyning nomi dastlab matematika olamiga hind hisob sistemasiga asoslangan arifmetika muallifi sifatida tanilgan bo’lsa, so’ngra qat’iy qoidalar asosida bajariladigan har qanday hisob sistemasining umumiy nomi (algoritm) sifatida mashhurdir. Al-Xorazmiyning nomi bilan Oyning ko’rinmas tomonidagi krater ataladi.

2003 yilda Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy al-Majusiy tavalludining 1220 yilligi nishonlandi

3. Al-Xorazmiy algebra asoschisi sifatida

Algebra fan sifatida tenglamalar yechish masalasi bilan bog’liq ravishda rivojlanadi. Qadimda misrliklar, vavilonliklar va hindlar algebraning dastlabki elementlariga ega bo’lganlar: ular tenglamani masala shartlari bo’yicha tuza olish va ulardan ba’zilarini yecha olganlar. Aslida, ular hali miqdorlarni harf bilan belgilashlarni va umumiy formulalarni tuza olmaganlar.

«Algebra» so’zi birinchi marta IX asrda yashagan vatandoshimiz buyuk matematik va munajjim Muhammad ibn Muso Al-Xorazmiy ishlarida uchraydi. Al-Xorazmiy asli Xorazmdan bo’lib yoshligidan fan va ilmga qiziquvchan bo’lgan, keyinchalik matematika va astronomiya sohasida katta ilmiy kashfiyotlar ochgan.

Al-Xorazmiy algebraik tenglamalarni tuzish va ochishga bag’ishlangan «Hisob al-jabr val muqobala» asarini yozgan. Al-jabr so’zidan algebra so’zi paydo bo’lgan. Uning nomi algebra fani paydo

bo’lishiga olib keldi va unda hali simvolik belgilashlar yo’q edi va barchasi so’zlar bilan yozilgan edi.

«Al-jabr» va «val muqobala» atamalari o’ng va chap tomonlarida musbat hadlar bo’lgan tenglamaga keltirishga imkon beruvchi eng oddiy va asosiy usullarni bildiradi. Al-jabr - amali (so’zma-so’z-taqqoslash, qiyoslash) tenglamaning chap va o’ng qismlarida o’xshash hadlarni ixchamlashdan iborat va tenglamani qulay ko’rinishga keltirish maqsadga ega.

Algebra uchun katta ilmiy yutuq – bu ko’rish va yozish uchun qulay harfiy belgilashlarning kiritilishidir. Hozirgi zamon harfiy belgilashlarning kiritilishidir. Hozirgi zamon harfiy belgilashlar sekin-asta yaratilgan. XI asrda arab matematigi al-Karxiy ba’zi algebraik miqdorlar uchun maxsus belgilar kiritgan, noma’lumni maxsus belgi bilan ifodalagan.

Birinchi darajali tenglamalarga Al-Xorazmiy ham katta e’tibor bergan, bunday tenglamalarni yechish uchun o’zining «Al-jabr» va «val muqobala» usulini qo’llagan. Bu usulning mohiyatini misolda qaraymiz.

tenglama berilgan bo’lsin. «Al-jabr» amalini bajarib

ni olamiz. «Val-muqobala» amalini qo’llab esa

ga ega bo’lamiz, bundan

XIII asrda yevropalik matematiklarda birinchi darajali tenglamalarning nazariyasi O’rta Osiyolik matematiklardagi kabi holatda bo’lgan edi. Masalan, ital’yan matematigi o’zining «Abak to’g’risidagi kitob» (1202) asarida Al-Xorazmiy kabi birinchi darajali tenglamalarni yechish uchun qoidalarni beradi, ya’ni mohiyatdan «tiklash» usulini qo’llaydi.

Birinchi darajali tenglamalarni yechishning keyingi rivoji belgilashlarni yaxshilash va hozirgi zamon ko’rinishiga keltirish yo’nalishida bordi.

Kvadrat tenglamalar nazariyasini al-Xorazmiy keng ravishda ishlab chiqdi va kvadrat tenglamalarning olti turini tekshirdi:

; ; ;;;.

Bu tenglamalarning har biri uchun so’zlar bilan (u harfiy belgilashlardan foydalanmagan) al-Xorazmiy uning maxsus yechish qoidasini bayon etgan.

Yevropada kvadrat tenglamalar yechish umumiy nazariyasini yaratish uchun harakat V-asrda Viyet tomonidan qilingan edi. Bu nazariya keyinchalik Jirar tomonidan oxiriga yetkazildi.

Mashhur o’zbek olimi, matematik, astronom va tabiatshunos O’zbekistonning Xorazm oblastidan bo’lib, fan tarixida alohida o’rin tutadi. Xorazmiyning ayniqsa, matematika va astronomiya fanlari sohasidagi ishlari bu fanlarning taraqqiyotida katta rol o’ynadi. Xorazmiy o’zining matematika va astronomiya sohasida yozgan asarlari bilan umuman fan xazinasiga salmoqli hissa qo’shgan olimdir.

Xorazmiyning beshta asari: arifmetika, algebra, astronomiya, geografiya va kalendar sohasidagi to’plamlari bizgacha yetib kelgan. Xorazmiyning bu asarlari, ayniqsa, uning arifmetika va algebra sohasida yaratgan asarlari matematika tarixida alohida o’rin egallaydi. Bu asarlar orqali insoniyatning juda ko’p avlodlari matematika fanining bu bo’limlarini o’rgandilar, o’nlab olimlar bu asarlarga sharhlar yozdilar va turli tillarga tarjima qildilar. Xorazmiy o’z asarlari bilan o’rta asrlarda va undan keyingi asrlarda katta shuhrat qozondi. Uning al-Xorazmiy nomi keyinchalik «algorifm" so’ziga aylanib qoldiki, bu so’z hozirgi vaqtda ma’lum hisoblash metodi ma’nosini anglatadi.

Xorazmiy algebra fanidan birinchi bo’lib yaratgan asari bilan algebra faniga asos soldi va uning asosiy tushunchalari, mazmuni va qoidalarini belgilab berdi. Algebradan yozilgan bu asar Yevropada ham katta shuhrat qozonib, fransuz matematigi Viyet (1540-1603) zamonasigacha algebradan asosiy darslik kitobi bo’lib keldi.

Xorazmiyning algebradan yozgan asari 1145 yilda ingliz Robert tomonidan, 1114-1187 yillarda yashagan italyan Gerardo tomonidan lotin tiliga tarjima qilingan. Bu asarning arabcha qo’lyozmasi (1342 yilda yozilgan) Oksford universiteti kutubxonasida saqlanmoqda, u «Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr va al-muqobala», ya’ni «Al-jabr va al-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob». Bu asar uch bo’limdan iborat bo’lib: 1- bo’limi algebra masalalariga bag’ishlangan, 2- bo’limida geometriyaga, o’lchashga doir masalalar, algebraning ba’zi bir tatbiqlari bayon etilgan. 3-bo’limi meros bo’lish hisoblashlariga bag’ishlangan. Bu kitob, asosan, 1- va 2-darajali tenglamalarni «al-jabr va al-muqobala» metodi bilan yechishga bag’ishlanadi. Bu metod shundan iborat: «al-jabr» so’zi turg’azish ma’nosida bo’lib, kabi tenglamalarni yechish uchun chap tomondagi ayiriluvchini (7 ni) tashlab, o’ng tomonda shu ayriluvchini turg’azishdir. Agar tenglamaning bir tomonida yoki ikkala tomonida ayriluvchi bo’lsa, bitta kamayuvchining o’zini qoldirish uchun ayiriluvchini tashlab, bunga teng miqdorni ikkinchi tomoniga qo’shish «al-jabr» deyiladi. Shu «al-jabr» so’zining o’zgara borishidan hozirgi «algebra» so’zi kelib chiqqan. «Al-muqobala» so’zi esa kabi tenglamalarni yechish uchun ikkala tomondan ni ayirish ma’nosini bildiradi. Agar tenglamaning ikkala tomonida bir xil jinslar, ya’ni o’xshash hadlar bo’lsa, ikkala tomondan umumiysini (misolimizda ni) tashlash «al-muqobala», ya’ni qolganlarni tenglashtirish deyiladi. By kitobda shu ikki usuldan foydalanib, 1-darajali tenglamalarning yechilishi ko’rsatilgan va bunga quyidagicha ta’rif berilgan: tenglamalarni yechish uchun ishlatiladigan amallar «al-jabr va al- muqobala» deb aytiladi, Xorazmiyning bu asarida hyech handay formulalar va simvollar bo’lmay, balki tenglamalar va ularning yechilishi so’z bilan bayon etilgan. U davrlarda boshqa olimlarning asarlarn ham shunday yozilgan. Bunda noma’lum «shay» («narsa»), uning kvadrati «mol» («boylik») deb atalgan. Noma’lum, ba’zan ildiz («jazr») deb ham atalgan. Qoidalar esa ayrim misollar orqali bayon etilgan, miqdorlar ba’zan chiziqlar orqali ifodalangan.

Kitobning 1-qismida algebraik ifodalarni qo’shish, ayirish vz ko’paytirish qoidalari berilgan. Algebraik ifodalar ko’phadlardan iborat bo’lib, unda noma’lum, uning kvadrati va kvadrat ildizi qatnashadi. Bundan keyin 2-darajali tenglamalar va ularni yechish metodlari, ularning geometrik tasviri, kvadrat tenglamalarga keltiriladigan masalalar yechish bayon etiladi. Berilgan har qanday shakldagi tenglamani yechish uchun eng oldin bu tenglamani «jabr va muqobala» amallarini tatbiq etish bilan quyidagi tenglamalardan biri shakliga (ya’ni hadlari qo’shiluvchilardan iborat tenglamaga) keltirib, undan so’ng hosil bo’lgan sodda tenglama ma’lum qoidalar yordami bilan yechiladi.

1. 
   Bitta kvadrat ildizga teng (masalan ).
   
2. 
   Bitta kvadrat songa teng (),
   
3. 
   Ildizlar songa teng ().
   
4. 
   Bitta kvadrat va ildizlar songa teng ().
   

5. Bitta kvadrat va son ildizlarga teng ().

6. Ildizlar va son bitta kvadratga teng ()

Hozirgi vaqtda algebra bularning hammasini harflar yordami bilan bitta umumiy tenglama shaklida ifodalaydi. Bunda a, b, s ning nol, musbat va manfiy qiymatlarga ega bo’lishiga qarab, yuqoridagi xususiy holdagi tenglamalarni hosil qilish mumkin. Shuni aytish kerakki, algebrada miqdorlarni harflar bilan ifodalash usuli, ya’ni simvolika faqat XVI asrning oxirida Yevropada qo’llanila boshlandi.

Yuqoridagi tenglamalardan birini, masalan: ni yechish usulini ko’rsatamiz

Bu tenglama shunday so’zlar bilan bayon etiladi: «Narsaning kvadratiga yigirma bir qo’shilsa, u o’sha kvadrat ildizning o’n baravariga teng bo’ladi». Bu tenglamaning ildizlarini topish uchun quyidagicha qoida beriladi:

«Ildizlar sanog’ini ikkiga bo’ling: besh soni chiqadi. Bu sonni o’z-o’ziga ko’paytiring, ko’paytma yigirma besh bo’ladi, undan yigirma bir sonini ayiring, qoldiq to’rt bo’ladi. Bundan ildiz chiqaring, bu ikki bo’ladi. Bu ildizni, ildizlar sanog’ining yarmidan, ya’ni beshdan ayiring, qoldiq uch bo’ladi. Mana shu- izlangan kvadratning ildizi bo’ladi".

Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma’nosini

formula bilan ifodalash mumkin.

«Yoki sen, bu ildiz ikkini, ildizlar sanog’ining yarmi — beshga qo’shishing mumkin, bu yig’indi 7 bo’ladi».

(ya’ni bo’ladi). «Bu izlangan kvadratning ildizi bo’ladi, kvadratning o’zi esa 49 bo’ladi. Qachonki sen shu holga to’g’ri keladigan misol uchratsang, avval uni yechishni qo’shish orqali sinab ko’rgin va bu maqsadga olib kelmasa, u vaqtda shubhasiz, ayirish maqsadga olib keladi, chunki bu holda ham qo’shish va ham ayirishni tatbiq etish mumkin»; ham qo’shish va ham ayirish boshqa hollar uchun, tatbiq etilmaydi, chunki u vaqtda manfiy ildiz ham olinadiki, bu holni Xorazmiy mumkin bo’lmagan hol deb qaraydi.

Umumiy holdagi tenglama uchun Xorazmiy ikkita musbat ildiz yo bitta ildiz, yo ildizlar bo’lmasligini aniqlaydi, ya’ni bu tenglamaning ildizlarini topish uchun yuqoridagi qoida tatbiq etilsa bo’ladi:



Bu holda Xorazmiy, bo’lganda ikkita musbat ildiz bo’lishini, bo’lganda, bu masalani yechish mumkin zmas, va bo’lganda kvadratning ildizi ildizlar sanog’ining yarmiga teng, ya’ni bo’ladi deb yozadi.

Bundan keyin, Xorazmiy ikkinchi darajali tenglamalar yechilishini bayon etishda geometrik metodga murojaat qiladi. Mashhur grek geometri Yevklid o’zining «Asoslar» asarida algebraik ifodalarni, ular orasidagi amallarni kesmalar orqali izohlagan, ya’ni, geometrik algebra dan foydalangan edi. Xorazmiy esa Yevklid foydalangan shakllardan emas, balki boshqa shakllardan foydalanib, 2-darajali tenglamalarni hal etishni o’z geometrik metodlari bilan izohlaydi. Masalan: , yoki umumiy holda

shakldagi tenglamani yechishni quyidagicha izohlaydi. 1-shaklda ko’rsatilgandek, kvadratni olib, uni bilan belgilaydi. Bu kvadratning har bir tomoniga balandligi bo’lgan to’g’ri- to’rtburchaklar yasaydi: bu shaklning qolgan burchaklarida kvadratlar yasalsa ularning tomonlari dan bo’lib, hamma kvadrat yuzlarining yig’indisi 25 ni tashkil etadi.

Shunday qilib, hosil qilingan katta kvadratning 10 tomoni

x  ga teng bo’lib, buning kvadrati yig’indidan, yoki dan iborat, ya’ni katta kvadratning tomoni 8 bo’ladi. Demak, , bundan . Demak, noma’lum x ni bunday ifodalash mumkin:

yoki

Bundan:

Agar bu formula tenglama uchun tatbiq etilsa

yoki bo’ladi

Xorazmiy bunday tenglamani, yana boshqa bir («Gnomon» deb atagan) shakl orqaln tushuntiradi: bunda kvadrat, ya’ni olinadi, ikkita balandligi 5 ra teng to’g’ri to’rtburchak yasaladi. Bu shaklni kvadratga to’ldirish uchun tomoni 5 bo’lgan kvadrat oladi. Katta kvadratning yuzi - 8 ga teng 8 ta kvadratning yuzi bo’ladi.

Yuqorida aytilganidek, Xorazmiy kvadrat tenglamalarni yechishda hosil bo’ladigan manfiy ildizlarni olmaydi. Shuni qayd etish kerakki, Xorazmiy asarlarida son tushunchasi, grek matematiklariga qaraganda ancha keng miqyosda qo’llaniladi, ya’ni uning asarlarida irrasional sonlar tushunchasi ham bor.

Shunday qilib, hozirgi belgilashlarga asosan shaklida yoziladigan kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi:

birinchi marta Xorazmiy asarlarida uchraydi. Bunda u bo’lgan holda, masalaning yechilishi mumkin emas deb yozadi.

Xorazmny algebraik asarining II bo’limi geometriyaga bag’ishlangan bo’lib, bunda shakllarni o’lchash qoidalari va algebraning ba’zi bir geometrik masalalarga tatbiqi ko’rsatiladi.

Xorazmiy uchburchaklar, to’rtburchaklar va aylanani ko’rib chiqadi. U, uchburchaklarni to’g’ri burchakli, o’tkir burchakli va o’tmas burchaklilarga bo’lib, bu hollarni aniqlash maqsadida uchburchak katta tomonining kvadrati bilan qolgan ikki tomoni kvadratlari yig’indisi orasidagi munosabatdan foydalandi.

Xorazmiy Pifagor teoremasini xususiy holda teng yonli uchburchak uchun isbotladi. To’rtburchaklarning besh xil shaklda bo’lishini yozdi. Rombning yuzi uning diagonallari yoki bir diagonali va bir tomoni orqali ifodalanishi mumkinligini yozdi.

Bu asarda teng tomonli uchburchakning yuzi, teng yonli uchburchakka ichki chizilgan kvadrat tomonini aniqlash va tomonlari 13, 14, 15 bo’lgan o’tkir burchakli uchburchak yuzini aniqlash kabi masalalar bor. Bu masalalarning berilishi va ularning yechilishida grek va hind matematiklarining ta’siri borligi ko’rinadi.

Xorazmiy sonining qiymatlaridan, boshqa 62832 :20000

qiymatini ham ko’rsatib, bu qiymatlarning taqribiy ekanligini uqtiradi. Muntazam ko’pburchakning yuzini, unga ichki chizilgan doira diametri yarmi bilan perimetrining yarmiga ko’paytmasi orqali aniqlaydi. Doiraning yuzini topish uchun quyidagi ifodalarni beradi: doira yuzi , diametri va doira aylanasining uzunligi l bo’lsa:

va

bunda deb hisoblangan.

Xorazmiy doira segmentining yuzini topish uchun quyidagi qoidalarni beradi :

Agar segment yuzi , yoyi , vatar uzunligi , diametr , segment balandligini deb belgilasak, yarim doiradan kichik segment uchun

va yarim doiradan katta segment uchun S

bunda shaklida aniqlanadi.

Xorazmiy o’zining bu asarida, jismlarning hajmlarini topish uchun ham qoidalar berdi. To’g’ri prizma, silindr, piramida, konus hajmlarini aniqlaydi. Berilgan asoslari kvadratlardan iborat va balandligi ma’lum bo’lgan kesik piramidaning hajmi aniqlanadi.

Yuqorida bayon etilgan masalalarni o’z ichiga olgan geometrik bo’lim, turmush ehtiyojlarni o’tashga bog’liq ko’p masalalarni hal etishda kishilarga katta yordam bergan. Bu asardan qo’llanma sifatida foydalanganlar.

Xorazmiyning boshqa bir qimmatbaho asari - «Arifmetika» faqat matematika tarixida emas, balki umuman fan va madaniyat tarixida ham juda katta ahamiyatga egadir. By kitob orqali o’nli pozision sanoq sistemasi yaqin va O’rta Sharq mamlakatlariga, Yevropaga tarqala boshlagan. Bu sanoq sistemasi o’sha davrda hukm surayotgan, harfli sanoq sistemasi va rim sanoq sistemasiga nisbatan juda mukammallashgan bo’lib, turmush ehhtiyojlari uchun tez orada qabul qilina boshlagan progressiv sanoq sistemasi edi. Xorazmiyning bu asari asosida juda ko’p kitoblar yozildi, bularda Xorazmiyning pozision sanoq sistemasini tatbiq etishdan iborat progressiv ideyalari davom ettirildi, Xorazmiyning bu asari uning «al-jabr va al-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob" asaridan keyin yozilgan bo’lib, uning original nusxasi hozirgacha topilmagan. Bu asarning lotincha tarjimasi (XIV asr qo’lyozmasi) Kembrij universitetida saqlanmoqda.

Xorazmiy o’zining arifmetikasida hindlarning to’qqiz raqam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 va nol yordami, ya’ni o’nli pozision sistema bilan istalgan sonning oson va qisqacha ifodalanishini bayon etish maqsadida ekanligini yozadi. Shuningdek, bu kitobda arifmetikaga doir masalalarni- sonlarni ko’paytirish va bo’lish, qo’shish va ayirishni bu sistema orqali juda osonlik bilan bajarish mumkinligi qayd qilinadi. Xorazmiy avval sonlarning pozision sistemasini tushuntiradi, so’ngra butun sonlar va kasr sonlar ustida amallar bajarish qoidalarini va, nihoyat, kvadrat ildiz chiqarish qoidalarini bayon etadi. Yevropada bungacha rim raqamlari ishlatilar ediki, bu raqamlar o’zining murakkabligi bilan noqulay edi. Sharqda esa raqamlarni so’zlar yoki harflar bilan ifodalardilar, VIII asrning 70-yillaridan hind raqamlari astronomik jadvallar bilan bir qatorda Bag’dod va boshqa Sharq mamlakatlariga kira boshladi. Yarim asrdan keyin esa o’nlik pozision sistema boshqa xalqlarga ma’lum bo’la boshladi.

By sohada mashhur olim Xorazmiyning jahon fani va madaniyati oldida buyuk xizmati shuki, boshqa xalqlar hindlarning o’nlik pozision sistemasi bilan uning asarlari orqali tanishdilar. Xorazmiyning bu asari XII asrda Iogann Sevilskiy tomonidan lotin tiliga tarjima qilindi. Mana shu asrdan boshlab o’nlik pozision sistema Yevropa xalqlariga tarqala boshlaydi.

Xorazmiyning arifmetikasi matematika tarixida- sanoq sistemasi tarixida — umuman, fan va madaniyat sohasida yangi davr ochdi. Xorazmiy Bag’dod shahrida bir necha yillar bo’lib, undagi observatoriyada kuzatishlar olib bordi. IX asrning 20-yillarida u,,Zij" («astronomik jadvallar") ni tuzib chiqdi. Bular arab tilidan lotin tiliga tarjima qilinib, ikki asrdan ortiq davr ichida turmush ehtiyojlari uchun foydalanildi. Xorazmiyning bu asari original nusxada bizgacha yetib kelmagan. 1007 yili ispaniyalik Maslam al-Majriti bu jadvallarni qayta ishlab chiqadi. Mana shu Zijning 1126 yilda yozilgan lotin tiliga tarjimasi hozirgacha saqlangan. «Zij» asarining bu qayta ishlangan nusxasi uzoq vaqt davomida Sharqda va G’arbda astronomiya fanidan asosiy qo’llanma hisoblanib keldi. Xorazmiy «Astrolyabiya» («Asturlob») va «Quyosh soati» haqida ham asarlar yozgan.

Xorazmiy aniq astronomik jadvallar tuzish bilan bir qatorda Bag’dod observatoriyasida olib boriladigan turli astronomik va geografik kuzatishlarda aktiv ishtirok etdi. Bu sohada Xorazmiy O’rta Osiyolik mashhur astronom va matematiklardan Muhammad ibn Kasir, al-Farg’oniy, Ahmad Marvoziy va boshqalar bilan ish olib bordi.

Xorazmiy meridian yoyi uzunligini hisoblash ishlariga ham rahbarlik qildi, o’lchash ishlari Tadmor (Damashqdan shimol tomonda) bilan ar-Rak hududlari orasida olib borilgan.

Meridian yoyini hisoblashda o’sha zamon uchun aniq qiymatlar topilgan. Xorazmiy rahbarligida meridianning bir gradusli yoyi uzunligini qayta-qayta o’lchash vositasida 111 815 m ekanligi topilganki, bu meridian gradusi yoyiiing haqiqiy uzunligidan faqat 977 m farq qiladi.