Аксиоматика евклидового пространства по Погорелову

Следствия аксиомы  .
1. На любой полупрямой из ее начальной точки можно отложить отрезок любой заданной длины, и при том только один.
2. Введением координат на прямой устанавливается взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и вещественными числами.
Отметим следующую теорему:
Каково бы ни было положительное число  , от данной полупрямой а в заданную полуплоскость можно отложить, и притом только один, угол (ab) с градусной мерой  .
Аксиома параллельных.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Аксиома  . Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельную данной.
Следствия аксиомы  .
1. Свойство параллельности прямых транзитивно:  и  , то  .
2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Аксиома'>Пространственные аксиомы.
Аксиома  . Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома  . Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Аксиома  . Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Отметим несколько следствий:
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.
2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
3. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Непротиворечивость аксиоматики по Погорелову.
Проверка аксиом принадлежности и параллельности.
Основные понятия.
Точкой мы будем называть любую пару вещественных чисел х и у, взятых в определенном порядке (х, у), а эти числа будем называть координатами точки.
Прямой мы будем называть совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению  , причем  . Это уравнение будем называть уравнением прямой. Прямые  и  будем называть осями координат, а точку (0,0) началом координат.
Мы будем говорить, что точка принадлежит прямой, если она является одной из ее точек, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.
Для установления непротиворечивости данной аксиоматики достаточно построить модель евклидового пространства в рамках надежной теории, где бы выполнялись все вышеперечисленные аксиомы. В качестве надежной теории возьмем арифметику.
Покажем, что при таком конкретном понимании основных понятий, для них выполняются аксиомы принадлежности и параллельности.
Аксиомой  утверждается, что через две точки можно провести прямую, и притом только одну. Эта аксиома выполняется. Действительно, пусть  и  - данные точки. Прямая, задаваемая уравнением  проходит через данные точки, т.к. их координаты удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что прямая единственная. Допустим, через точки  и  продят две прямые:  ,  . Так как система из этих двух уравнений имеет два решения  и  , то уравнения зависимы, т.е. отличаются только множителем. А это значит – прямые совпадают.
Аксиомой  утверждается, что на каждой прямой лежат по крайней мере две точки, и существуют три точки, не лежащие на прямой.
- Покажем, что эта аксиома выполняется. Действительно, пусть  - уравнение прямой. Тогда по крайней мере один из коэффициентов  или  отличен от нуля, например,  . Возьмем произвольные числа  и  ( ) и найдем числа  и  по формулам  и  . Точки ( ) и ( ) лежат на нашей прямой.
- Докажем существование трех точек, не лежащих на одной прямой. Возьмем точки (0,0), (0,1), (1,0). Эти три точки не лежат на одной прямой. Действительно, допустим, они лежат на некоторой прямой  . Подставляя координаты точек в уравнение прямой, последовательно получаем  ,  ,  . Но ведь  . Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
Проверим выполнимость аксиомы параллельных. Докажем, что через точку  , лежащую вне прямой  , можно провести не более одной прямой, ей параллельной. Допустим, существуют две такие прямые  и  , проходящие через точку  и параллельные данной прямой, т.е. не пересекающие ее. Составим системы:

Обе системы не совместны, т.е. не имеют решений. Поэтому  ,  . Отсюда  , и так как система  имеет решение  , то ее уравнения зависимы, т.е. отличаются только множителем. А это значит, что прямые совпадают вопреки предположению. Итак, выполнимость аксиомы доказана.
Аналогично проверяется выполнимость остальных аксиом.
Вывод: в построенной модели выполняются все аксиомы, следовательно аксиоматика евклидового пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика