Afin koordinatalar sistemasi

Tekislikning umumiy tenglamasi.
1-teorema. Umumiy dekart koordinatalar sistemasida tekislik birinchi darajali
Ax+By+Cz+D = 0
tenglama bilan ifodalanadi.
Isboti. tekislikdagi ixtiyoriy M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtani fiksirlaymiz va ikkita kolleniar bo`lmagam har biri  tekislikka komplanar bo`lgan a = {l₁,m₁,n₁} va b = {l₂,m₂.n₂} vektorlar olamiz. U holda oldingi mavzuga ko`ra  tekislikni quyidagicha yozish mumkin:

yoki
. (1)
a va b vektorlar kolleniar bo`lmaganligi sababli , kamida bitta

determinantlardan biri noldan farqli, demak, (1) x,y,z larga nisbatan birinchi darajali tenglama. Agar
deb olsak (1) tenglama quyidagi ko`rinishga keladi;
Ax+By+Cz+D = 0.
2-teorema(teskari).Har qanday birinchi darajali
Ax+By+Cz+D = 0
tenglama umumiy dekart koordinatalar sistemasida tekislikni tenglamasi bo`ladi.
To`g`ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida n = { A,B,C} vector Ax+By+Cz+D = 0 tenglama bilan berilgan tekislikka perpendikulyar bo`ladi.
Umumiy dekart koordinatalar sistemasida n = { A,B,C} vector Ax+By+Cz+D = 0 tenglama bilan berilgan tekislikka perpendikulyar bo`lmasligi mumkin.Bu n = { A,B,C} vector ummumiy dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan Ax+By+Cz+D = 0 tenglama bilan berilgan tekislikning bosh vektori deyiladi.
Vektor va tekislikning komplanarlik sharti.
Teorema.Fazodagi umumiy dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan a = {l , m , n } vector va
Ax+By+Cz+D = 0
umumiy tenglamasi bilan tekislik berilgan. U holda berildan a vector va berilgan tekislikning komplanar bo`lishligini zaruriy va etarli sharti
Al+Bm+Cn = 0
tenglikdan iborat.
Bu teoremadan tekislikning bosh vektori n = { A,B,C} umumiy dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan Ax+By+Cz+D = 0 tenglama bilan berilgan tekislikka komplanar bo`lmaydi. Haqiqatan ham,
AA+BB+CC = A²+B²+C²  0.
Koordinatalar sistemasiga nisbatan tekislikning joylashish holatlari.
Olingi mavzudan umumiy dekart koordinatalar sistemasida
Ax+By+Cz+D = 0
tenglama bilan berilgan tekislik Ox o`qidan o`tishi yoki unga parallel bo`lishi uchun A = 0 bo`lishi zarur va etarli ekanligi kelib chiqadi, chunki Ox o`qni yo`naltiruvchi vektori sifatida {1,0,0} vektorni olish mumkin.
Shunga o`xshash, B = 0 va C = 0 shartlar tekislikni mos ravishda Oy va Oz oq`laridan o`tishi yoki unga parallel bo`lishi uchun zarur va etarli shart bo`ladi.
Bundan, berilgan tekislik biror koordinata tekisligiga yotishi yoki parallel bo`lishi uchun uning Ax+By+Cz+D = 0 umumiy tenglamasida A,B,C koeffisientlardan ikkitasi nolga teng bo`lishi zarur va etarli ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, Ax+D = 0, By+D = 0, Cz+D = 0 yoki
x = a , y = b , z = c
tenglamalar va faqat shu ko`rinishdagi birinchi darajali a  0 , b  0 , c  0 bo`lgan hollarda koordinata o`qlariga parallel bo`ladilar. Xususan, koordinata tekisliklarini tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi:
x = 0 (yOz tekislik)
y = 0 (xOz tekislik)
z = 0 (xOy tekislik).
(1) tenglama bilan berilgan tekislik koordinatalar boshidan o`tishi uchun D = 0 bo`lishi zarur va etarlidir.