Adabiyotlar Tao T. Analysis Hindustan Book Agency, India, 2014. Canuto C., Tabacco A

5-ta’rif. ([2], p. 81, Def. 3.21) Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,
,
funksiya uchun

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
6-ta’rif. ([2], p. 72, Def. 3.11) Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
7-misol. Aytaylik, , , bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.
◄ Haqiqatan ham, sonnni olaylik. Ravshanki, uchun
.
Demak, deyilsa, unda uchun

bo‘ladi. ►
8-misol. Faraz qilaylik,

bo‘lsin. Unda

bo‘lishini isbotlaymiz.
◄  sonni olaylik. Ma’lumki, da

bo‘ladi. Unda

bo‘ladi.
Agar deyilsa, unda uchun

bo‘ladi Demak, . ►
9-misol. Ushbu

munosabat isbotlansin.
◄  sonni olamiz. Ma’lumki, da


Limit ta’rifiga binoan,


bo‘ladi.
Endi desak, unda uchun

bo‘lib,

bo‘ladi. Demak,
. ►
3-teorema. ([1], p. 222, Prop. 9.3.9) Funksiya limitining Koshi hamda Geyne ta’riflari ekvivalent ta’riflardir.
◄ Koshi ta’rifiga ko‘ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin:

Unda

Bo‘lganda

(1)

bo‘ladi. nuqta to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra ketma-ketlik topiladiki, da bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan

(2)

bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.
Endi soni Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da

bo‘ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi { } ni olaylik:
da .
U holda

(3)

bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan

bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘ladi. ►
Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.