Adabiyotlar: 1, 2, 7, 8, 16, 23, 26. Tayanch iboralar

12.5. Dispersiya uchun ishonchlilik intervali
Aytaylik, (x₁, x₂, …, x_n) X belgili bosh to’plamdan olingan tanlanma bo’lib, noma’lum σ² dispersiyali normal taqsimotga ega bo’lsin.
Ushbu

tasodifiy miqdor (n-1) ozodlik darajali ² taqsimotga ega ekanini, shu bilan birga bu taqsimot X tasodifiy miqdorning matematik kutilishiga bog’liq bo’lmasligini isbotlash mumkin.
Endi ² taqsimotning jadvallari bo’yicha berilgan α ozodlik darajalari soni n-1 bo’yicha shunday va ( < ) larni topamizki:
. (12.8)
U holda
. (12.9)
Shunday qilib,
(12.10)
Oxirgi tenglikdan σ parametr ishonchlilik intervaliga ega bo’lishi kelib chiqadi, bu yerdagi lar (12.8) tenglikdan aniqlanadi.
2-misol. Ekilgan kanopdan 100 tup tanlab olinib, poyalarning uzunliklarini hisoblab chiqilganda quyidagi ma’lumotlar olindi (sm):

Variantalar, xi	45	55	65	75	85	95	105	115
Chastotalar, ni	1	5	11	26	33	16	7	1

Bosh to’plamning o’rtacha qiymati uchun ishonchlilik intervalini toping (γ=0,95).
Yechilishi. Statistik xarakteristikalarni hisoblash qulay bo’lishi uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

xi ni	xi ni
45 1 55 5 65 11 75 26 85 33 95 16 105 7 115 1	45 275 315 1950 2805 1520 735 115	2025 3025 4225 5625 7225 9025 11025 13225	2025 15125 46475 146250 238425 144400 77125 13225
Σ 100	8160		683100

Tanlanma o’rta qiymatini formula orqali hisoblaymiz. Jadvaldagi qiymatlarni o’rniga qo’yib topamiz.

Tanlanma dispersiyasini formuladan foydalanib hisoblaymiz. Jadvaldagi qiymatlarni qo’yamiz.

Tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanish

bo’ladi.
Variatsiya koeffisiyenti:
Tanlanma o’rtacha qiymatining absolyut xatosi:

Endi bosh to’plam o’rtacha qiymatining ishonchlilik intervalini
(12.11)
formuladan foydalanib topamiz, bu yerdagi t_γ uchun maxsus jadval mavjud bo’lib, hisoblash jarayonida undan foydalanniladi.
Misolda
n=100, γ=0,95 bo’lganda t_γ=1,984 qiymatni ilovadagi 3-jadvaldan topamiz. Bu qiymatlarni (12.11) tengsizlikka qo’yamiz.

3-misol. Tanlanmaning shunday minimal hajmini topingki, normal taqsimlangan bosh to’plam matematik kutilishining tanlanma o’rtacha qiymati bo’yicha bahosining aniqligi 0,925 ishonchlilik bilan 0,2 ga teng bo’lsin. Bosh to’plamning o’rtacha kvadratik chetlanishi ma’lum. σ=1,5.
Yechilishi. Shartga ko’ra: γ=0,925; σ=1,5; δ=0,2; 2Ф(x)=0,925 Ф(х) ni topamiz:

Ilovadagi 2-jadvalda Ф(x)=0,4625 ga x ning x=1,78 qiymati mos keladi.
Bosh to’plam matematik kutilishining tanlanma o’rtacha qiymati bo’yicha baholashning aniqligini ifodalaydigan formuladan foydalanamiz.

4-misol. Bosh to’plamning X son belgisi normal taqsimlangan n hajmli tanlanma bo’yicha tuzatilgan o’rtacha kvadratik chetlanish σ topilgan. Agar n=10, S=5,1 bo’lsa, σ o’rtacha kvadratik chetlanishni 0,999 ishonchlilik bilan qoplaydigan ishonchlilik intervalini toping.
Yechilishi. γ=0,999 va n=10 bo’yicha ilovadagi 4-jadvaldan q=1,80 ni topamiz.
Ishonchlilik intervalini quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin:
S(1-q)<σyoki 0<σ1 bo’lganda.
q=1,8>1 bo’lgani uchun ikkinchi formuladan foydalanamiz.
0<σ<5,1(1+1,8) yoki 0<σ<14,28.