A. Ta’riflar, formulalar, teoremalar

λ₁λ₂ J₂J₃Kanonik tenglamasi.Chiziqning nomi.1++-+-x²/a²+Y²/b²=1.

a²=-J₃/ λ₁J₂, b²=-J₃/ λ₂ J₂Ellips. --+++2+++++x²/a²+Y²/b²=-1.

a²=J₃/ λ₁J₂, b²=J₃/ λ₂ J₂Mavhum ellips.---+-3++0+0x²/a²+Y²/b²=0

a²=1/ b²=1/

Nuqta (kesishuvchi mavhum to’g’ri chiziqlar)--0+04+-+--x²/a²-Y²/b²=-1

a²=J₃/ λ₁J₂, b²=-J₃/ λ₂ J₂

x²/a²-Y²/b²=1

a²=-J₃/ λ₁J₂, b²=J₃/ λ₂ J₂

Giperbola-

-

++

+

--

+

--

-

-+

-

+5+-0-0x²/a²-Y²/b²=0

a²=1/ b²=1/ Bir juft

kesishuvchi to’g’ri chiziqlar.-+0-0 Jadvaldagi “+” ishora koeffitsientlarning musbat qiymatini, “-” ishora esa manfiy qiymatini, “0” esa ularning no’lga tengligini bildiradi.

λ₁X²+2a^/₀₀Y=0 (yoki λ₂Y²+2a^/₁₀X=0) (II)

ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lgan chiziqlarni tekshiraylik. Bunday chiziqlar uchun

J₁=λ₁≠0(yoki J₁=λ₂≠0), J₂=0, 3-jadval.

№Λ₁λ₂ J₃Kanonik tenglamasi.Chiziqning nomi.1±0± x²=-2pY, Parabola.2 0±±x²=2pY, Parabola.30±± Y²=-2px, Parabola.40 ±±Y²=2px, Parabola. Yuqoridagiga o’xshash

λ₁x²+a^/=0 (yoki λ₂Y²+b^/=0) (III)

tenglamaga ega bo’lgan chiziqlarni tasnif qilaylik. (III) tenglama uchun

J₁=λ₁≠0 a₂₀^/=0 (yoki J₁=λ₂≠0,a₁₀^/=0), J₂=0, J₃=0 ( ).

4-jadval.

№λ₁λ₂a^/b^/Kanonik tenglamasiChiziqning nomi.1±0 x²-a²=0, a²=-a^//λ_1­

Y²-b²=0, b²=-b^// λ₂

Bir juft parallel haqiqiy to’g’ri chiziqlar.0± 2±0±x²+a²=0, a²=a^//λ_1­

Y²+b²=0, b²=b^// λ₂

Bir juft mavhum parallel to’g’ri chiziqlar.0±±3≠000x²=0_­

Y²=0Ustma-ust tushuvchi bir juft haqiqiy to’g’ri chiziqlar.0≠00 Shunday qilib, 2,3,4- jadvallardan ko’rinadiki, ikkinchi tartibli chiziqlar hammasi bo’lib to’qqizta turga ega, xolos. Boshqa turdagi 2-tartibli chiziq mavjud emas.

B. Masalalar yechish.

111-masala. To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida 5x²+y²+10x-6y-6=0 chiziq berilgan. Koordinatalar boshini parallel ko’chirish bilan berilgan chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltiring, chiziqni yasang.

Yechish. tenglama koeffitsiyentlari: a₁₁=5, a₁₂=0, a₂₂=1, a₁₀=5, a₂₀=-3, a₀₀=-6. Berilgan chiziq qanday tipdagi chiziq ekanligini aniqlash mumkin. Buning uchun J₁, J₂ va J₃ invariantlarning qiymatlarini va ishoralarini aniqlash kerak.

J₁=a₁₁+a₂₂=6>0, J₂=a₁₁*a_22­-a²₁₂ =5>0.

Demak, berilgan chiziq elliptik tipidagi markazli (J₂>0), buzilmaydigan (J₃=-100<0) chiziqdir. Bundan tashqari J₃/J₁=-100/6<0, ya’ni J₃ va J₁ lar qarama – qarshi ishoralarga ega. Shuning uchun berilgan chiziq haqiqiy ellipsdir. Endi, bu ellipsning berilgan umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz. a₁₂=a₂₁=0 bo’lganligi uchun Ox va Oy koordinat o’qlari berilgan chiziqning bosh diametrlari (o’qlari) ga paralleldir. Demak, koordinatalar boshi O ni berilgan chiziqning markaziga ko’chirish kifoya. Bu ishni esa ikki xil usulda bajarish mumkin: chiziq markazini aniqlash va bu nuqtaga O nuqtani parallel ko’chirish mumkin yoki praktikada ko’p qo’llaniladigan quyidagi usuldan foydalanish mumkin: koordinatalar boshini parallel ko’chirish formulasi

(1)

dan foydalanish mumkin. Bu formulada x₀, y₀ lar O^/XY yangi koordinatalar sistemasini O^/ koordinatalar boshining eski Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan koordinatalaridir (chiziq markazining koordinatalari).

1. ni berilgan chiziq tenglamasiga qo’yamiz:

   
   

5(X-x₀)²+(Y-y₀)²+10(X-x₀)-6(Y-y₀)-6=0.

Bu yerda ko’rsatilgan amallarni bajarib, o’xshash hadlarini ixchamlasak, u holda

5x²+Y²-10(x₀-1)X-2(y₀+3)Y+(5x²₀+y²₀-10x₀+6y₀-6)=0 (2)

tenglamani hosil qilamiz. (2) tenglamada x₀ va y₀ larni shunday tanlaymizki, natijada bu tenglamada X va Y o’zgaruvchilarning 1-darajalari qatnashmasin. Demak,

x₀-1=0 va y₀+3=0

bo’lishi kerak. Oxirgi tengliklardan x₀=1, y₀=-3 larni olamiz. Bu holda 5x²₀+y²₀-10x₀+6y₀-6=5+9-10-18-6=-20.

Shunday qilib, berilgan chiziq (ellips) ning O^/XY to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi (kanonik sistema) dagi tenglamasi (2) ning ko’rinishi

5X²+Y²-20=0 (3) bo’ladi. (3) tenglamadan esa izlanayotgan kanonik tenglamani hosil qilamiz:

. (4)

Topilgan kanonik tenglamadan foydalanib, berilgan ellipsni yasaymiz. Buning uchun, dastlab O^/XY kanonik sistemani aniqlaymiz. (36-chizma), bu sistemada yarim o’qlari a=2, bo’lgan ellipsni yasaymiz

(1.2.2. punktga qarang).

36-chizma.

(4) kanonik tenglamani 2-jadval yordamida ham tuzish mumkin. Buning uchun ellipsning yarim o’qlari kvadratlarini hisoblash va o’rniga qo’yish etarlidir.

a²=-J₃/λ₁J₂=-(-100)/5*5=4,

b²=-J₃/λ₂J₂=100/1*5=20.

Bu yerda λ₁=5=a₁₁ va λ₂=1=a₂₂ tenglikdan foydalandik.

112-masala. ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini koordinat o’qlarini burish yordamida kanonik shaklga keltiring. Berilgan chiziqni yasang.

Yechish. Bu erda a₁₁=0, a₁₂=a₂₁=- , a₂₂=1,a₁₀=0, a₂₀=0, a₀₀=-6.

J₁=a₁₁+a₂₂=1, J₂=a₁₁*a₂₂-a²₁₂=-(- )²=-3/4<0.

ko’ramizki, berilgan chiziq markazli, giperbolik tipidagi chiziqdir (J₂<0). a₁₀=a₂₀=0 ekanligidan berilgan chiziq markazi koordinatalar boshida yotadi, lekin a₁₂≠0 bo’lganligi uchun Ox va Oy o’qlari chiziqning bosh diametrlariga parallel emas. Shuning uchun berilgan chiziq tenlamasini kanonik shaklga keltirish uchun dekart sistemasining o’qlarini O nuqta atrofida α burchakka burish kifoya.

Quyidagi tartibda ish ko’ramiz:

1. Berilgan chiziq harakteristik tenglamasinining ildizlarini aniqlaymiz:

   
   

4λ²-4λ-3=0,

2) , yani OXY yangi koordinatalar sistemasining koordinat vektorlari koordinatalari ( bazisga ko’ra) aniqlaymiz:

Demak,

Olingan natijalardan ko’rinadiki, α=-60⁰. Burish formulasiga ko’ra, Oxy sistemadan OXY sistemaga

formula yordamida o’tiladi. Oxirgi tengliklarni berilgan chiziq tenglamasiga qo’yamiz:

Bundan ba’zi elementar soddalashtirishlardan so’ng izlanayotgan kanonik tenglamani xosil qilamiz:

Demak, berilgan chiziq giperbola bo’lib, uning fokal o’qi-OX, mavhum o’qi esa OY o’qidan iborat. Giperbolaning kanonik tenglamasidan foydalanib, uni OXY koordinatalar sistemasida yasaymiz (37-chizma).

Y

37-chizma.

37-chizmada giperbolaning F₁, F₂- fokuslari, A₁, A₂- uchlari bo’lib, bu nuqtalar OXY sistemaga nisbatan F₁(4,0), F₂(-4,0), A₁(2,0), A₂(-2,0) koordinatalarga ega. Giperbola asimptotalari Oxy eski koordinatalar sistemaida esa giperbola fokuslari va uchlari: koordinatalarga ega.

Asimptotalari: y=0 va .

113-masala. 2-tartibli chiziq o’zining x²-2xy+y²+2x+2y-4=0 umumiy tenglamasi bilan berilgan. Bu chiziqning turini aniqlang, uning tenglamasini kanonik shaklga keltiring va yasang.

Yechish. Bu yerda a₁₁=1, a₁₂=a₂₁=-1, a₂₂=1,a₁₀=a₀₁=1, a₂₀=a₀₂=1, a₀₀=-4,

J₁=a₁₁+a₂₂=2, J₂=a₁₁*a₂₂-a²₁₂=0,

Berilgan chiziq markazsiz (chunki J₂=0) bo’lib, buzilmagan, yani bir juft to’g’ri chiziqlarga ajralmaydigan (chunki J₃≠0) chiziqdir. Bu ikki xossaga ega bo’lgan chiziq faqat paraboladir. Berilgan parabolaning umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz va bu kanonik tenglama yordamida parabolaning Oxy sistemadagi shaklini chizamiz.

1. Berilgan chiziqning harakteristik tenglamasi (2.3.4) ni tuzamiz va uning λ₁, λ₂ ildizlarini aniqlaymiz:

   
   

λ²-2λ=0 va λ₁=2, λ₂=0.

1. Oxy koordinatalar sistemasidan Ox^/ y^/ koordinatalar sistemasiga koordinat o’qlarini α burchakka burish yordamida o’tamiz:

   
   

.
Bu tengliklardan ekanligi kelib chiqadi. Demak, burish formulasining ko’rinishi

1. Berilgan chiziqning Ox^/y^/ sistemadagi (2.3.10) tenglamasi koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

   
   

Shunday qilib, berilgan chiziq Ox^/y^/ sistemaga nisbatan

ko’rinishdagi tenglamaga ega.

1. Ox^/y^/ koordinatalar sistemasidan O^/XY sistemaga O nuqtani O^/(x₀, y₀) nuqtaga parallel ko’chirish

   
   

yordamida o’tamiz:

Oxirgi tenglamada x₀=0, bo’lishini talab qilamiz. Bu esa koordinatalar boshini O^/(0, ) nuqtaga parallel ko’chirishni ta’minlaydi. Demak, O^/XY koordinatalar sistemasida berilgan parabolaning kanonik tenglamasi X²=- Y ko’rinishga ega bo’ladi. Parabolaning fokal parametri p= /2 bo’lib, Y≤0 bo’ladi. Olingan natijalarga asoslanib parabolani yasaymiz (38-chizma).

38-chizma.

Parabolaning uchi, fokusi koordinatalarini, o’qi tenglamasini aniqlash uchun

tengliklardan foydalanish kerak. Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan parabola uchi O^/(1,1) koordinatalarga, fokusi koordinatalarga ega. Parabolaning simmetriya o’qi y=x to’g’ri chizig’idir.

114-masala. 2-tartibli chiziqning

umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltiring va chiziqni yasang.

Yechish. Bu yerda a₁₁=3, a₁₂=a₂₁=- , a₂₂=+1,a₁₀=a₀₁= , a₂₀=a₀₂=-5/2, a₀₀=-6,

J₁=a₁₁+a₂₂=2, J₂=a₁₁*a₂₂-a²₁₂=0,

Shunday qilib, berilgan chiziq markazsiz (J₂=0), buzilgan (bir juft to’g’ri chiziqlarga ajraladigan:J₃=0) ikkinchi tartibli chiziqdir.

1. Berilgan chiziqning harakteristik tenglamasi

   
   

λ²-4λ=0

bo’lib, buning ildizlari: λ₁=4 va λ₂=0

4-jadvalga ko’ra berilgan chiziq bir juft parallel haqiqiy to’g’ri chiziqlardan iborat.

2) Oxy koordinatalar sistemasidan Ox^/y^/ sistemaga koordinat o’qlarini α burchakka burish yordamida o’tamiz:

Demak, burish burchagi α=-30⁰ bo’lib, burish formulasi

ko’rinishga ega.

3) Berilgan chiziqning Ox^/y^/ sistemadagi (2.3.10) tenglamaga koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, berilgan chiziqning Ox^/y^/ sistemadagi tenglamasi

4x^/2+10x^/-6=0 ko’rinishga ega.

4)λ₁=4, a^/₁₀=5 (λ₂=0, a₂₀^/=0) ekanligidan x^/=X-5/4, y^/=Y almashtirish yordamida O koordinatalar bo’shini O^/(- ) nuqtaga parallel ko’chiramiz. Bu holda berilgan chiziqning O^/XY sistemadagi tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi (4-jadvalga qarang).

Shunday qilib, berilgan chiziq O^/XY koordinatalar sistemasida

tenglamaga ega bo’lib, bu tenglama tenglamalarga ega bo’lgan bir juft parallel to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi (39-chizma).

Biz berilgan 2-tartibli chiziqning kanonik tenglamasini tuzish uchun Oxy sistemadan Ox^/y^/ sistemaga, so’ngra  Ox^/y^/ sistemadan O^/XY kanonik sistemaga o’tdik. Berilgan bir juft parallel to’g’ri chiziqlardan har birining Oxy koordinatalar sistemasidagi tenglamalarini hosil qilish uchun O^/XY sistemadan Oxy sistemaga o’tish kerak. Buning uchun yuqoridagi o’tish formulalariga teskari bo’lgan

almashtirish formulasidan foydalanish kerak. Oxirgi tenglikni berilgan chiziqning kanonik tenglamasiga qo’yib, ba’zi soddalashtirishlardan so’ng

tenglamani hosil qilamiz.

39-chizma.

V. Mustaqil yechish uchun masalalar.

115. koordinatalar boshi O ni O¹ nuqtaga parallel ko’chirish yordamida to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi Oxy da berilgan quyidagi 2-tartibli chiziqlar tenglamalarini kanonik shaklga (holga) keltiring, chiziqlarni yasang:

a). x²+y²-2x+6y-10=0;

b). 3x²+4y²+6x-16y+7=0;

v). x²-4x+y+7=0;

g). 4x²-9y²-16x-18y-29=0;

d). y²-10y+9=0;

e). 2x²+3y²+8x-6y+11=0.

(J: a) O¹(1,-3), aylana: x²+y²=20; b) O¹(-1,2), ellips: ; v) O¹(2,-3), parabola: x²=-Y; g) O¹(2,-1), giperbola: ; d) O¹(0,5), bir juft parallel to’g’ri chiziqlar: Y²-16=0; e) O¹(-2,1), buzilgan ellips 2x²+3y²=0).

116. Oxy to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida berilgan quyidagi 2-tartibli chiziqlar tenglamalarini koordinat o’qlarini α burchakka burish yordamida kanonik holga keltiring, OXY kanonik sistema OX abstsissa o’qining burchak koeffitsiyenti k=tgα ni aniqlang, chiziqlarni yasang:

1). 4x²+6xy+4y²-7=0;

2). 5x²-24xy-3y²-1=0;

3). 5x²-6xy+5y²+32=0;

4). x²+2xy+y²=0;

5). 2x²-4xy+2y²-3=0;

6). xy-5=0.

(Javob: 1) k=tgα=1, ellips:

2). k=tgα=

3) k=tgα=-1, mavhum ellips:

4) k=tgα=1, ustma-ust tushuvchi to’g’ri chiziqlar: X²=0;

5) k=tgα=- , bir juft parallel to’g’ri chiziqlar: 4x²-3=0;

6) k=tgα=1, teng tomonli giperbola: X²-Y²=10).

117-125 masalalarda berilgan 2-tartibli chiziqlar umumiy tenglamalarini Oxy to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasining o’qlarini burish va parallel ko’chirish yordamida kanonik holga keltiring.

117. 9x²+12xy+4y²-24x-6y+3=0.

(Javob: parabola: ).

118. x²-2xy+y²-12x+12y-2=0.

(Javob: X²=1).

119. 2xy+4x+4y+1=0.

(Javob: X²=Y²=7).

120. 9x²+4xy+6y²+2x-4y-3=0.

(Javob: X²/0,4+Y²/0,8=1).

121. x²-4xy+4y²+6x-12y+1=0.

(Javob: ).

122. 3x²+2xy-y²-8y+1=0

(Javob: ).

123. 25x²+36xy+40y²-34x-116y+89=0.

(Javob: X²+4Y²=0).

124. 9x²-12xy+4y²+39=0

(Javob: X²+3=0)

125. x²-4xy+4y²-5x+6=0

(Javob: ).