A. Ta’riflar, formulalar, teoremalar

3-§. Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltirish va bunday chiziqlarni tasnif qilish.

A. Ta’riflar, formulalar, teoremalar.

2.3.1. Umumiy tenglamani kanonik shaklga keltirish.

2-tartibli chiziq dekart reperida (Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasida) o’zining a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₀x+2a₂₀y+a₀₀=0 (2.3.1) tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. Bunday tenglamaga ega bo’lgan har qanday (aylanadan boshqa) chiziq bir juft bosh yo’nalishlarga ega, chunki (2.2.9) harakteristik tenglama doimo ikkita λ₁, λ₂ ildizlarga ega bo’lib, bosh yo’nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlaydigan (2.2.8) sistema doimo 2 ta no’ldan farqli yechimlarga ega. (2.3.1) tenglamani kanonik (eng sodda) shaklga keltirish quyidagi teoremaga asoslanadi: dekart reperining koordinat vektorlari (2.3.1) chiziqning bosh yo’nalishlarini aniqlashi uchun (bosh diametrlar Ox va Oy o’qlarga parallel bo’lishlari uchun) a₁₂=a₂₁=0 bo’lishi zarur va yetarlidir.

Bu teoremaning isbotini qisqacha bayon etilgan.

(2.3.1) te nglamada a₁₂=a₂₁=0 bo’ladigan qilib α burchakni tanlash zarur. Bunday qiymatlarda

(λ≠0)

tenglik bajarilishi talab qilinadi. Bu esa

(2.3.2)

tenglamalar sistemasiga teng kuchli. (2.3.1) chiziqning xarakteristik tenglamasi

λ²-(a₁₁+a₂₂)λ+(a₁₁a₂₂-a²₁₂)=0 (2.3.3)

yoki x²-J₁λ+J₂=0 (2.3.4)

ko’rinishida bo’ladi. Uning λ_1, λ₂ ildizlarini topamiz (D>0bo’lganligi uchun a₁₂≠0 shartda doim mavjud). formuladan λ_1, λ₂ ildizlarga mos yo’nalishlarni aniqlaymiz:

.

Bular bosh yo’nalishlar bo’lib, k₁*k₂=-1, tgα₁*tgα₂=-1, bo’ladi.

Demak, reperni α₁ burchakka burib reperga o’tkazganimizda birlik vektorning koordinatalari

(2.3.5)

birlik vektorning koordinatalari esa (2.3.6) ko’rinishida bo’ladi, ya’ni:

. (2.3.7).

Shunday qilib, (2.3.1) tenglamada a₁₂=0 bo’lishi uchun reperning koordinata o’qlari (2.3.1) chiziqning bosh diametrlariga parallel bo’lishlari zarur va yetarli ekan. Teorema isbotlandi.

Viyet teoremasiga ko’ra, (2.3.3) xarakteristik tenglamada

J₁=a₁₁+a₂₂=λ₁+ λ₂ , J₂=a₁₁*a₂₂-a²₁₂=λ₁* λ₂ (2.3.8) tengliklar o’rinlidir. Bundan tashqari,

a¹₁₁=(a₁₁cosα₁+a₁₂sinα₁)*cosα₁+(a₂₁cosα₁+a₂₂sinα₁)sinα₁=(λ₁cosα₁)*

*cosα₁+(λ₁sinα₁)*sinα₁=λ₁ kelib chiqadi. Agar (2.3.8) tenglikni e’tiborga olsak, a¹₂₂=λ₂ bo’ladi. Shunday qilib,

J₁=a₁₁+a₂₂= λ₁+ λ₂= a¹₁₁+a¹₂₂ =J¹₁,

J₂=λ₁* λ₂ =a¹₁₁*a¹₂₂-0²=J₂¹. (2.3.9)

Bu esa J₁ va J₂ kattaliklar tekislikda koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmay, balki 2-tartibli chiziqning o’ziga xos ichki xossasigagina bog’liqdir.

Demak, koordinata o’qlarini α₁ burchakka burilganda (2.3.1) tenglama λ₁x²+λ₂y²+2a^/₁₀x^/+2a^/₂₀y^/+a^/₀₀=0 (2.3.10) ko’rinishini oladi.

(2.3.10) tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun koordinata o’qlarini parallel ko’chirishdan foydalaniladi, ya’ni O nuqtani O^/ nuqtaga ko’chirish orqali Ox^/y^/ dan O^/XY ga o’tiladi. Bu yerda bir necha hollar bo’lishi mumkin:

I. λ₁≠0, λ₂≠0, (λ₁≠0:markazli chiziq). (2.3.10) tenglamada

(2.3.11)

Almashtirish yordamida O(0,0) koordinatalar boshini O^/(-a^/₁₀/λ₁,-a^/₂₀/λ₂) nuqtaga parallel ko’chiramiz. Natijada (2.3.10) tenglama O^/XY sistemaga nisbatan λ₁X²+ λ₂Y²+a¹¹₀₀=0 (2.3.12)

ko’rinishga keladi. Bunda:

(2.3.13)

II. λ₂=0, a^/₂₀≠0 yoki λ₁=0, a^//₁₀≠0. Bu hollar bir-biriga o’xshashdir. λ₂=0, a^/₂₀≠0 holda (2.3.10) tenglamada x^/=X-a^/₁₀/λ₁,

(2.3.14) almashtirish qilamiz. Bu holda (2.3.10) tenglama O^/XY sistemada

λ₁X²+2a^/₂₀Y=0 (2.3.15) ko’rinishga keladi.

λ₁=0 (λ₂≠0), a^/₁₀≠0 bo’lgan holda esa

almashtirish yordamida (2.3.10) tenglama O^/XY sistemaga nisbatan

λ₂Y²+2a^/₁₀X =0 (2.3.16)

ko’rinishga keladi.

III. λ₁=0, a^/₁₀=0 yoki λ₂=0, a^/₂₀=0. (J₁≠0, J₂=0).

Bu hollar ham bir-biriga o’xshash tekshiriladi.

λ₂=0, a^/₂₀=0 holda (2.3.10) tenglamada

almashtirish yordamida O koordinatalar boshini O^/(-a^/₁₀/ λ₁,0) nuqtaga parallel ko’chiriladi. O^/XY sistemada (2.3.10) tenglamaning ko’rinishi

λ₁X²+a¹=0 (2.3.17)

bo’lib, bunda dir.

λ₁=0, a^/₁₀=0 bo’lgan hol shunga o’xshash tekshiriladi.

Shunday qilib, (2.3.1.) umumiy tenglama Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasidan Ox¹y¹ sistemaga koordinat o’qlarini (Ox ni) α burchakka burish bilan, so’ngra Ox¹y¹ sistemaning O koordinatalar boshini O^/ nuqtaga parallel ko’chirish natijasida quyidagi 3ta sodda ko’rinishlardan biriga keltiriladi:

λ₁X²+ λ₂Y²+a¹¹₀₀=0, (I)

λ₁X²+2a¹₂₀Y=0 (yoki λ₂Y²+2a¹₁₀X=0) (II)

λ₁X²+a¹=0 (yoki λ₂Y²+b¹=0). (III)

2.3.2. Ikkinchi tartibli chiziqlar tasnifi.

Agar (2.3.1) umumiy tenglamaga ega bo’lgan 2-tartibli chiziq bir juft (haqiqiy yoki kompleks) to’g’ri chiziqlarni ifodalasa, u holda (2.3.1) tenglamaning chap tomonidagi 2-darajali ikki noma’lumli ko’phad ikkita 1-darajali ikki noma’lumli uch hadlar ko’paytmasidan iborat bo’ladi va aksincha. Bir juft to’g’ri chiziqlarni ifodalaydigan 2-tartibli chiziqni buziladigan yoki bir juft to’g’ri chiziqlarga ajraladigan chiziqlar deyiladi.

(2.3.1) 2-tartibli chiziqning buziladigan chiziq bo’lishi yoki bo’lmasligi J₃ invariantning ((2.1.2)ga qarang) nolga teng yoki teng emasligiga bog’liq. Boshqacha aytganda quyidagi teorema o’rinli: 2-tartibli (2.3.1.) chiziq buzilgan chiziq bo’lishi uchun J₃=0 bo’lishi zarur va yetarli. Demak, bu teorema J₃ invariantning geometrik ma’nosini ochib beradi. J₁ va J₂ invariantlarning geometrik ma’nosi bilan yuqorida tanishgan edik.

Endi, (2.3.1.) tenglama qanday turdagi chiziqlarni ifodalashini ko’raylik. 2.3.1punktda ko’rganimizdek, (2.3.1.) tenglama (I), (II) yoki (III) ko’rinishdagi tenglamalardan biriga keltiriladi. Bu tenglamalardagi koeffitsiyentlarning ishoralariga qarab (yoki J₁, J₂, J₃ invariantlarning ishoralariga qarab), 2-tartibli chiziqlarni tasnif qilamiz:

λ₁X²+ λ₂Y²+a^//₀₀=0 (I)

(I) tenglamaga ega bo’lgan chiziqlar uchun

J₁=a₁₁+a₂₂= λ₁+ λ₂ , J₂=a₁₁a₂₂-a₁₂²= λ₁*λ₂≠0,
(I) tenglamaga ega bo’lgan markazli (J₂≠0) chiziqlarni quyidagi jadvalda keltiramiz:

2-jadval.

№