A. S. (guruh rahbari); Fattohov

u  ^dx ,
^x dt
u  ^dy ,
^y dt
_{u } dz
^z dt

ifodalardan iborat bo‘ladi. Nuqtaning holati K sistemada har bir t  vaqt momentida x  , y  , z  koordinatalar bilan xarakterlanadi. Nuqta tezlik vektorining K sistemaga nisbatan x  , y  , z o‘qlarga proyeksiyasi

u^  ^{dx } , u^
_ dy^ _{,
u } dz^

^x dt ^
y dt ^
z dt ^

ifodalar bilan aniqlanadi.
Lorens almashtirishlari formulalaridan
dt  ^v dx^

_{dx } dx^vdt ^ _,
dy  dy^, dz  dz^,


dx 

kelib chiqadi. Oldingi uchta tenglikni to‘rtinchi tenglikka bo‘lib, tezliklar uchun bir sistemadan ikkinchi sistemaga o‘tgandagi almashtirish formulasiga ega bo‘lamiz:


8 8

u_x 

u_x^ v _, ^

₂ 
_1 vu_x^{ }
c _



u_y 


,


_1 vu_x^{ }
_c2 _



. _


(19.3)

u_z 
_1 vu_x^
c^{2 }

v<<c bo‘lgan holda (19.3) munosabat klassik mexanikaning tezliklarni qo‘shish formulasiga o‘tadi.
Agar jism x o‘qqa parallel harakat qilayotgan bo‘lsa, uning K sistemaga nisbatan u tezligi u_x bilan, K sistemaga nisbatan u  tezligi esa u_x ga mos tushadi. Bu holda tezliklarni qo‘shish qonuni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
_{u } u^v _.
1 ^uv (19.4)
_c2
u tezlik c ga teng deb faraz qilsak, u uchun (19.4) formulaga asosan quyidagi qiymat kelib chiqadi:

_{u } u^v
 с.

^{1 сv} (19.5)
_c2

Agar v<<c va u <<c bo‘lsa, kasrning maxrajidagi
_{u } u^v
_c2

hadni hisobga olmasa ham bo‘ladi, bunda (19.3) o‘rniga tezliklarni qo‘shishning klassik qonuni kelib chiqadi:
u = u +v.
v₁ = c bo‘lganda, nisbiylik nazariyasining ikkinchi postulatiga ko‘ra, u tezlik ham c tezlikka teng. Darhaqiqat:


8 9

_{u } cv
_1 сv
_c2
 с ^{c  v}  c. c  v

Òezliklarni qo‘shishning relativistik qonunining ajoyib xossasi shuki, u va v tezliklar har qanday bo‘lganda ham (albatta, c dan katta bo‘lmaganda) natijaviy u tezlik c tezlikdan katta bo‘lmaydi. u= v = c bo‘lgan pirovard holda quyidagicha bo‘ladi:
u  ^2c  c.
2
v>c bo‘la olmaydi. Haqiqatdan, agar v>c bo‘lganda (19.1) va (19.2) formulalar o‘z ma’nosini yo‘qotadi, chunki uzunlik bilan vaqt mavhum bo‘lib qoladi.

Qo‘shimcha adabiyotlar

[2] — 172—79- betlar, [3] — 171—74- betlar,
[5] — 392—96- betlar, [7] — 702—14- betlar,
[8] — 442—45- betlar.

Òakrorlash uchun savollar

1. 
   Harakatning qanday tezliklarida tezliklarni qo‘shishning relyativistik qonuni klassik qonunga aylanadi?
   
2. 
   Yorug‘lik tezligi boshqa barcha jismlar harakat tezliklaridan asosan qanday farq qiladi?
   
3. 
   Masofaning nisbiyligini tushuntiring.
   
4. 
   Vaqt oralig‘ining nisbiyligini tushuntiring.
   
5. 
   Òezliklarni qo‘shishning relyativistik qonuni formulasini keltirib chiqaring.
   

20- ma’ruza

Massaning tezlikka bog‘liqligi.
Relativistik dinamika.
Massa bilan energiya orasidagi bog‘lanish
Fazo hamda vaqt to‘g‘risidagi yangi tasavvurlar harakat tezliklari katta bo‘lganda Nyuton mexanikasi qonunlariga to‘g‘ri kelmaydi. Faqat kichik tezliklarda, ya’ni fazo hamda vaqt haqidagi klassik tasavvurlar o‘rinli bo‘lgandagina Nyutonning ikkinchi
9 0

F
m  ^v  ^
t

(20.1)

qonuni bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchi inersial sanoq sistemasiga o‘tilganda o‘z shaklini o‘zgartirmaydi (nisbiylik prin- sipi buzilmaydi).
Ammo harakat tezliklari katta bo‘lgan bu qonun o‘zining odatdagi (klassik) shaklida to‘g‘ri bo‘lmaydi.
Dinamikaning ikkinchi qonunini Nyutonning o‘zi ishlatgan boshqa bir shaklda yozamiz:

_{m } p^
t

 F ,

(20.2)

^{bu yerda} p^  mv^{ — jismning impulsi. Bu tenglamada jismning}
massasi tezlikka bog‘liq emas, deb hisoblangan. Shunisi ajoyibki, harakat tezligi juda katta bo‘lganda ham (20.2) tenglama o‘z shaklini o‘zgartirmaydi. Jismning massasigina o‘zgaradi. Jismning tezligi ortganda uning massasi o‘zgarmay qolmaydi, balki jismning harakat tezligi yorug‘lik tezligi c ga yaqinlashgan sari massa orta boshlaydi.
Massaning tezlikka bog‘liqligini impulsning saqlanish qonuni fazo hamda vaqt to‘g‘risidagi yangi tasavvurlar uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi, degan tahmin asosida topish mumkin. Hisoblashlar juda ham murakkab. Shu sababli bu hisoblashlarning natijalarinigina
keltiramiz. _Agar tinch turgan jismning massasini m₀ bilan
belgilasak, v tezlik bilan harakatlanayotgan jismning massasi m

quyidagi formuladan topiladi:


m= .

(20.3)

m massaga jismning relativistik massasi deyiladi. Massaning o‘zgarishi jism harakat tezligining va shunga mos ravishda jism kinetik energiyasining ortib borishi tufayli vujudga keladi. Jismning
relativistik massasi, ^{v  1} bo‘lganligi uchun, tinchlikdagi massa-
c
sidan katta bo‘ladi. 75- rasmda jism massasining uning tezligiga bog‘liqlik grafigi berilgan.
9 1

Jismlarning tezligi yorug‘lik tezligidan ancha kichik bo‘lganda


ifoda 1 dan nihoyatda kam
farq qiladi. Masalan, hozirgi zamon kosmik raketasining tezligi v=10 km/s da bu ifoda quyidagicha bo‘ladi:

75- rasm.
 0, 99999999944.


(20.3) munosabat hisobga olinganda jismning impulsi quyidagiga teng bo‘ladi:

p^ =
m₀v _.
(20.4)

Relativistik dinamikaning asosiy qonuni esa avvalgi shaklida yoziladi:

p^ _ ^
_t F .

0
^{Biroq bu yerda jismning impulsi to‘g‘ridan to‘g‘ri} m v^{ ko‘payt-}
madan emas, balki (20.4) formuladan topiladi.
Shunday qilib, Nyuton vaqtidan beri ikki yarim asr davomida o‘zgarmas deb hisoblanib kelingan massa aslida tezlikka bog‘liq ekan. Endi nisbiylik nazariyasidan kelib chiqadigan juda muhim xulosa bilan tanishib chiqamiz; bu xulosa yadro fizikasi va elementar zarrachalar fizikasida eng asosiy ahamiyatga ega. Gap energiya
bilan massa orasidagi universal bog‘lanish to‘g‘risida boradi.
Energiya bilan massa orasidagi bog‘lanish energiyaning saq- lanish qonunidan va jism massasining uning harakatlanish tezligiga bog‘liqlik omilidan muqarrar ravishda kelib chiqadi.
Massa bilan energiya orasidagi bog‘lanishni miqdor jihatdan jismning yorug‘likning c tezligidan ancha kichik v tezlik bilan harakatlanishi misolida aniqlash hammadan oson. Buning uchun massa bilan tezlik orasidagi bog‘lanishning tarkibiy ifodasini v <<c
9 2

bo‘lgan hol uchun topamiz. (20.6) formuladagi maxrajni, Nyuton binomi formulasiga asosan quyidagicha yozish mumkin:

Juda kichik qilamiz:
1v⁴ 4c⁴
kattalikni hisobga olmay, quyidagini hosil
1v²

 1 – .
2c²

Shuning uchun

m  ^m0
1v² 1– _2c2

bo‘ladi.

1v²

Bu ifodaning maxrajini ham, suratini ham ^{1 } _2c2
1v⁴
ga ko‘pay-

tirib,

2c⁴

hadni hisobga olmay, quyidagi tarkibiy formulaga ega

bo‘lamiz:


m  m  ¹ m v ¹ .
(20.5)

⁰ ₂ ⁰ _c2

Bu formulada jismning kinetik energiyasi

W_k
 ¹ m v²

₂ 0

^{qadar ortganda uning massasi} m  m – m₀
dagicha ifodalanishi kelib chiqadi:
m  ^Wk .
_c2
qadar o‘zgarishi quyi-

Demak, jismning tezligi ortishi bilan massasining o‘zgarishi shu jism kinetik energiyasining yorug‘lik tezligining kvadratiga bo‘lgan nisbatiga teng.

Nisbiylik nazariyasida bu xulosa keng ko‘lamda umumlashtiriladi. Bu nazariya yordamida Eynshteyn o‘zining oddiyligi va umumiyligi jihatdan ajoyib bo‘lgan formulani — energiya bilan massa orasidagi bog‘lanish formulasini topdi:
9 3

E  mc² 
m c²

0
.

(20.6)

Jismning yoki jismlar sistemasining to‘la energiyasi massa bilan yorug‘lik tezligi kvadratining ko‘paytmasiga teng.

Butun fizikada fundamental fizik kattaliklarni bir-biriga bog‘laydigan ana shunday oddiy universal formulalardan atigi ikki- uchtasi uchraydi.
Agar sistemaning energiyasi o‘zgarsa, uning massasi ham o‘zgaradi:

m  ^E .
_c2

(20.7)

Jism harakatining tezligi kichik (v<) bo‘lganda (20.6) formulani quyidagicha yozish mumkin:

E  m₀c²

• 
  m₀v²
  

.
2
(20.8)

Bu yerda ikkinchi had — jismning odatdagi kinetik energiyasi. Formuladagi birinchi had diqqatga sazovordir. Bu had jismning tezligi 0 ga teng bo‘lgandagi energiyasini — tinchlikdagi energiyasi E₀ ni ifodalaydi:


E₀= m₀c ² (20.9)

Bu juda ajoyib natijadir. Har qanday jism o‘zining mavjudlik fakti tufayligina energiyaga ega va bu energiya jismning tinchlikdagi massasiga proporsionaldir.

Òinch holatdagi massasi noldan farqli bo‘lgan elementar zar- rachalarning massasi m₀= 0 bo‘lgan zarrachalarga aylanishida tinchlikdagi energiyasi yangi hosil bo‘lgan zarrachalarning kinetik energiyasiga batamom aylanadi.
Bu dalil tinchlikdagi energiya mavjudligining eng yaqqol eksperimental isbotidir.
Jismning to‘liq relativistik energiyasi E= mc ² ga teng. Nisbiylik nazariyasida jismning kinetik energiyasi esa quyidagicha bo‘ladi:
9 4

0 0
 

^{2 2 m}0^c2
2 2  ₁ 

T  E – E₀  mc
– m₀c 
– m c  m c ^ – 1^. (20.10)
 
 
 

Òakrorlash uchun savollar

1. 
   Massaning nisbiyligini tushuntirib bering.
   
2. 
   Massa bilan energiyaning o‘zaro bog‘lanish qonuni nimadan iborat?
   
3. 
   Òinchlikdagi energiya nima?
   
4. 
   Eynshteyn formulasini tushuntiring.
   
5. 
   Nisbiylik nazariyasida jism kinetik energiyasining formulasini yozing.