A niq integralning geometriyaga tatbiqlari Reja

> f1:=x->2*sqrt(9-x^2)/3;f2:=x->sqrt(9-x^2);

> s:=int(f2(x)-f1(x),x=0..3);
2)berilgan ellipsning parametrik tenglamasiga o’tib yuzani hisoblaymiz:
4x²+9y²=36 dan:

3)berilgan aylananing parametrik tenglamasiga o’tib yuzani hisoblaymiz:
x²+y²=9 dan:

4)Izlanayotgan yuza:
> restart;with(plots):
> x2:=t->3*cos(t);y2:=t->3*sin(t);

> x1:=t->3*cos(t);y1:=t->2*sin(t);

> s1:=plot([x1(t),y1(t), t=0..Pi/2],thickness=2);

> s2:=plot([ x2(t),y2(t), t=0..Pi/2],thickness=2);

> display({s2,s1}, axes=boxed, title=`YUZA`);

> s1:=int(x1(t)*diff(y1(t),t),t=0..Pi/2);
> s2:=int(x2(t)*diff(y2(t),t),t=0..Pi/2);
> s:=s2-s1;
17-misol. astroida-chizig’i bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani hisoblash.
Yechish:
1) astroida grafigini quramiz:
> with(plots):
> plot([1*cos(t)^3,1*sin(t)^3, t=0..2*Pi],thickness=2);

2)berilgan astroidaning parametrik tenglamasi x=acos³(t), y=asin³(t) ga asosan uning yuzani hisoblash:

> restart;
> x:=t->a*cos(t)^3;y:=t->a*sin(t)^3;

> s:=4*(1/2)*int(x(t)*diff(y(t),t)-y(t)*diff(x(t),t), t=0..Pi/2);

Parallel kesimlarining yuzi bo‘yicha jismning hajmini hisoblash

Aytaylik, jism Ox o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha [a;b] kesmaga joylashgan bo‘lib, x  [a;b] nuqtada uning abssissalar o‘qiga perpendikulyar kesimining yuzi S(x) uzluksiz funksiya orqali ifodalansin (9-rasmga qarang), ya’ni uning parallel kesimlarining yuzi har bir x uchun ma’lum bo‘lsin. Uning hajmini hisoblash uchun [a;b] ni ixtiyoriycha qilib n ta bo‘laklarga bo‘lamiz va i-bo‘lakka mos keluvchi x_i-1 va x_i nuqtalar orqali o‘tkazilgan Ox o‘qqa perpendikulyar kesimlar orasida qolgan qismini asosi S( _i) (bu yerda _i[x_i-1; x_i]) va balandligi x_i bo‘lgan silindr bilan almashtirib, bu bo‘lakcha hajmining taqribiy qiymati uchun

 v_i  S(_i) x_i
ni qabul qilamiz. Bu ishni barcha bo‘lakchalar uchun bajarib, jism hajmining taqribiy qiymati uchun

ga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy formulaning o‘ng qismi S(x) funksiyaning [a;b] oraliq bo‘yicha integral yig‘indisidir. Demak, dagi limitga o‘tish natijasida
(20)
ni olamiz. Bu parallel kesimlarining yuzi ma’lum bo‘lganda jismning hajmini hisoblash formulasidir. funksiyani kesmada uzluksiz deb faraz qilamiz.