А. А. Самарский, А. В. Гулин



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet50/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   46   47   48   49   50   51   52   53   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

(
9
)
A k
~
i =
~ “ u

■ “ 1 ,4 - 1

#
4 - 1

~“ l
4
'
- “ 4 - 1 ,1 •
■ “ 4 - 1 , 4 - 1 -
- “
4
-
1
,
4
-
бк—

) Щ,й—
1)«
Согласно предположению индукции существует требуемое разло­
жение матрицы 
Ак- и
т. е.
Л*-1 =
Lk-iUk-i,
где 
Lh_u Uк-
1
— соответственно нижняя и верхняя треугольные мат-
56


рицы, обладающие указанными в теореме свойствами. Будем искать 
разложение матрицы (9) в виде
Л =
0 ' 
hi-i hik
'Jk-,
«А-Л
, 0
1 J
(
10
)
где /й_ь 
и,,-
1
— неизвестные пока векторы,
4 - i = ( 4 i , /
а
2
, • • ■ ! 
K,k-i) , 
Uk- i = ( u lk, U-ik, . . . , Uh- i h) T.
Перемножая матрицы в правой части уравнения (10) и учитывая
(9), приходим к системе уравнений
Lk-iUk-i
 =
Як-и
 
(11)
h-iUk-i
 =
Ьи~
 1, 
(12)
Ik-iU-k-i
 +
Ikk = 0,kk.
 
(13)
Из предположения индукции следует существование матриц 
Lk-U
Uk-i.
Поэтому из (И ) и (12) получим
U к
-1 == T v -l'T -1, 
I k
- 1 
b k —i U k —i
и, далее,
/
а
А = Щ
а
 
Ik-lU-h-t-
Таким образом, /.//-разложение матрицы Л порядка 
k
сущест­
вует. Остается доказать, что 
1ккФ
0. Рассмотрим определитель мат­
рицы Л. Из разложения (10) следует, что
del Л = (det 
Lk- t)l
hh(det //„-О = (det /.„_,)/**•
По условию теоремы бе1:Л=5^0, следовательно, 
1кк=£0.
Тем самым 
индукция завершена и доказана возможность требуемого разло­
жения.
Покажем теперь, что такое разложение единственно. Предполо­
жим, что матрицу Л можно разложить двумя способами:
A = L iUi ~ L 2U2.
Тогда 
L2 = LJJ JJ~2
и
(14)
Матрица в левой части уравнения (14) является верхней треуголь­
ной, а в правой части — нижней треугольной. Такое равенство воз­
можно лишь в случае, если матрицы 
и 
L[
l
L2
диагональные.
Но на диагонали матрицы 
UyU21
(а следовательно, и матрицы 
L ilL2)
стоят единицы, следовательно, эти матрицы единичные:
U хЩ1
=
l^~Li = Е.
Отсюда получаем 
и { = 1!2,
L, = L2, т. е. разложение (8) единственно. 
Теорема об /.(/-разложении полностью доказана.

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   46   47   48   49   50   51   52   53   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish