II BOB DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING ANALITIK NAZARIYASI 1. Differensial tenglamaning to‘g‘ri va maxsus nuqtalari Nazariy fizikada quyidagi ko‘rinishdagi ikkinchi tartibli differensial tenglama ko‘p uchraydi:
(1)
Fizikada uchraydigan funksiyalarning analitik xossalari ko‘rilayapgan masalaning fizikaviy xossalarining aksidir. Yechimning analitik xossasi esa tenglamaning maxsus nuqtalariga bevosita bog‘liq bo‘ladi. ko‘pincha shunday hollar uchrab turadiki, tenglamaning butun tekislikdagi aniq yechimini topish mumkin emas (yoki u kerak emas). Bu holda biz o‘zimizga qiziq bo‘lgan nuqta atrofida yechimni qidirib ko‘rishimiz mumkin. Ushbu bob yuqoridagi tenglamaning yechimini ixtiyoriy nuqta atrofida qidirishga bag‘ishlangan.
Yechimni nuqta atrofida qidirar ekanmiz biz uni qator sifatida qidiramiz. Agar biron-bir z = a nuqtada yechimni yaqinlashuvchi Taylor qatoriga yoya olsak bu nuqta oddiy, yoki, to‘gri nuqta deyiladi. Buning uchun quyidagi shart bajarilishi kerak. (1) tenglamadan biz ni topa olamiz
(2)
Taylor qatoriga yoyish uchun bizga kerak, buning uchun esa ixtiyoriy va lar uchun (2) ning o‘ng tomoni mavjud bo‘lishi kerak. Boshqa so‘z bilan p(a) va q (a) lar cheklangan bo‘lishi kerak. Taylor qatorini qurish uchun kerak bo‘lgan yuqori hosila( va h.k.) larni hisoblay boshlasak p(z ) va q (z) larning ham yuqori hosilalari mana shu z = a nuqtada mavjud bo‘lishlari kerakligi kelib chiqadi. Demak, z = a nuqta to‘g‘ri nuqta bo‘lishi uchun p(z ) va q (z ) funksiyalar shu nuqtada analitik (golomorf) bo‘lishi zaruriy ekan. Shu shart bir vaqtda yetarli bo‘lishini keyingi paragrafda ko‘rsatamiz.
Yuqoridagi mulohazalardan tushunarliki, p(z ) va q (z ) funksiyalar uchun z = a nuqta maxsus nuqta bo‘lib qolsa biz u(z ) funksiyamizni Taylor qatoriga yoya olmaymiz. Masalan,
(3)
Bu misolda z = 0 nuqta p(z ) va q (z ) funksiyalar uchun qutb nuqtadir. Agar va yetarli darajadagi yuqori tartibli nol bo‘lmasa mavjud bo‘lmaydi va yechim uchun z = 0 nuqtada Taylor qatorini hosil qila olmaymiz. Demak, bu misolda z = 0 nuqta - maxsus nuqta. Bu holda Taylor qatorining o‘rniga Laurent
qatori paydo bo‘lishi aniqdir. Undan tashqari, tenglamaning ikkita yechimining o‘rniga bitta yechimgina mavjud bo‘lishi mumkin. Quyida mana shu masalalar ko‘rib chiqilgan.
Terminologiyaga to‘xtalib ketaylik. Odatda differensiallanuvchilik, golomorflik va analitiklik tushunchalarining farqiga borilmaydi, ular aynan tushunchalar deb qaraladi. Rostdan ham, funksiya bir qiymatli va u berilgan soha bir bog‘lamli bo‘lganda bu uchala tushuncha bir-biriga ekvivalentdir. Lekin bu tushunchalarning har birining o‘z ta‘rifi bor, ularni keltirib ketaylik:
1. Funksiya f (z ) o‘zining aniqlanish sohasidagi z = a nuqtada differensiallanuvchi deyiladi qachonki bu funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari shu nuqtada birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo‘lsa va ular Cauchy-Riemann shartlariga bo‘ysunsa;
2. Funksiya f (z ) o‘zining aniqlanish sohasidagi z = a nuqtada golomorf deyiladi, qachonki u shu nuqtada quyidagi qator ko‘rinishida tasavvurlansa:
3. Funksiya f (z ) o‘zining aniqlanish sohasi G da analitik deyiladi, qachonki shu funksiyaning nuqtadan nuqtaga analitik davomi shu nuqtalarni bog‘lovchi konturga bog‘liq bo‘lmasa. Cauchyning integral teoremasidan kelib chiqadiki, sohada differensiallanuvchi funksiya shu sohada cheksiz marta differensiallanuvchi funksiya bo‘ladi. Abelning qatorlar haqidagi teoremasidan kelib chiqadiki, cheksiz qator o‘zining yaqinlashish sohasida tekis yaqinlashadi va bu qator f (z ) funksiyasining Taylor qatori bo‘ladi:
Demak, biror sohada berilgan differensiallanuvchi funksiya shu sohada golomorf bo‘ladi va teskarisi.
Analitiklik tushunchasi Weierstrass tomonidan kiritilgan. Monodromiya teoremasi bo‘yicha golomorf funksiyalarning analitik davomi (ularning bir qiymatli aniqlanish sohasida, va bu soha bir bog‘lamli bo‘lganda, albatta) faqat boshlang‘ich va oxirgi nuqtalarga bog‘liq va bu nuqtalarni bo‘glovchi konturga bog‘liq emas. Demak, golomorf funksiya analitikdir, differensiallanuvchi funksiya golomorf bo‘lgani uchun u ham analitik funksiyalar qatoriga mansubdir. Shu sababdan biz ham differensiallanuvchi va golomorf funksiyalarni analitik deb atab ketaveramiz. Yana bir qaytaramiz, bu tasdiqlar f (z ) funksiyaning bir bog‘lamli va bir qiymatli sohasiga tegishli.
