9-Mavzu. O‘lcham va bazis. Turli bazislarda vektor koordinatalari orasidagi bog‘lanish. F maydon ustidagi V vektor fazoda vektorlarning cheqli yoki cheksiz a tizimi berilgan bo`lsin. T a ` r I

2-teorema. A- vektorlar tizimi va V- uning chekli chiziqli erkli qism tizimi bo`lsin. Agar A tizimining xar bir vektori. V orqali chiziqli ifodalansa, u xolda V tizim A tizimning bazisi bo`ladi.
I s b o t. Kitobning birinchi qismidagi. 14-§ 4-teoremaga asosan, agar A tizim fazoning qismi va V esa A ning qism tizimi bo`lib, A ning xar bir veetori V orqali chiziqli ifodalansa, u xolda A ning rangi V ning rangidan katta emas.
Agar A ixtiyoriy V chiziqli fazodagi tizim va V undagi chekli rangga ega bo`lgan qism tizim bo`lsa, bu teorema o`rinliligicha qoladi (mustaqil isbotlang). SHunday qilib, oxirgi tasdiqqa va teoremamizning shartiga asosan, agar A ning rangi n bo`lsa, u xolda V ning xam rangi n bo`ladi, ya`ni V qism tizim A ning bazisidir.
Bu teorema muayyan chiziqli fazolarning o`lchamini xisoblashda qulay vositadir. Bir nechta misol ko`ramiz.
1. Agar chiziqpi fazoda (35-§ dagi 1 misol) ixtiyoriy nol’ga teng bo`lmagan vektor bo`lsa, u xolda
dagi xar qanday x vektorni ko`rinishda
ifodalash mumkin.
Demak, tizim ning bazisi va

1. 
   Agar fazoda (35-§ dagi 2-misol) kollinear bo`lmagan (ya`ni bir to`g`ri chiziqtsa yotmagan va verktorlar berilgan bo`lsa, u xolda ular chiziqli erkli va xar
   qanday vektor ko`rinishida ifodalanishi mumkin, bu erda Bunga asosan tizim ning bazisi va
   
   

3. 
   Agar fazoda (35-§ daga 3-misol) komplanar bo`lmagan (ya`ni bir tekisliqtsa yotmagan) vektorlar berilgan bo`lsa, u xolda ular chiziqli erkli va xar qanday vektor ko`rinishda ifodalanishi mumkin, bu erda . Bunga asosan tizim ning bazisi va .
   

4. Ixtiyoriy F maydon ustidagi fazodagi vektorlar ortlar deb ataladi. Xar qanday elementlar uchun o`rinli bo`lgan tenglikdan ortlarning chiziqli erkli ekanligi va xar qanday vektorning ular orqali chiziqli ifodalanishi kelib chiqadi. Demak, ortlar fazoning bazisi va
5. orqali darajasi bo`lgan va koeffitsientlari S kompleks sonlar maydonidan olingan ko`pxadlar to`plamini belgilaymiz. Ko`pxadlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:

Ushbu ko`pxadlar chiziqli zrkli, xaqiqatan, aks xolda kamida biri nol’dan farqli bo`lgan shunday sonlar mavjudki, xar qanday uchun . Vaxolanki, algebraning asosiy teoremasining natijasiga asosan bu ko`pxadning ko`pi bilan n ta ildizi mavjud.
Demak, tizim ning bazisi va
6. fazo (35-§ dagi 7-misol) cheksiz o`lchamli, chunki xar qanday n uchun ta vektordan iborat tizim chiziqli erkli.