9-Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi, elementar funksiyalar uzluksizligi

9-Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi, elementar funksiyalar uzluksizligi.


9.3. Funksiyaning uzluksizligi, elementar funksiyalar uzluksizligi.
6-Ta’rif: Berilgan funksiya o‘zining aniqlanish sohasiga biror atrofi bilan kiruvchi nuqtada
(6)
shartni qanoatlantirsa, bu funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Masalan, oldingi paragrafda funksiya uchun holda hisoblangan limit qiymatidan foydalanib,

ekanligini ko‘ramiz. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Yuqoridagi funksiya uzluksizlik shartini, ekanligini hisobga olib,

kabi yozish mumkin. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun funksiya olish va limit olish amallarini o‘rnini almashtirish mumkin bo‘lishi kerak ekan.
Amaliy masalalarda funksiya uzluksizligini orttirma tushunchasi orqali tekshirish qulay. Agar nuqta nuqta atrofidan olingan bo‘lsa, ayirma argumеnt orttirmasi deyiladi vа kabi belgilanadi. Bu holda ayirma funksiya orttirmasi deyiladi vа yoki kabi belgilanadi.
Demak, orttirma argumеntning o‘zgarishini, esa funksiya o‘zgarishini ifodalaydi. Agarda bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bundan, ekanligidan foydalanib, (6) uzluksizlik shartini
(7)
ko‘rinishida yozish mumkin. Bu shartni o‘z navbatida, ekanligidan foydalanib,
(8)
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Demak funksiya uzluksiz bo‘lishi uchun argumеntning “kichik” o‘zgarishiga funksiyaning ham “kichik” o‘zgarishi mos kеlishi kerak.
Misol sifatida funksiyaning har qanday nuqtada uzluksiz ekanligini (8) shart yordamida ko‘rsatamiz:

; .
7-Ta’rif: Berilgan funksiya biror oraliqning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u shu oraliqda uzluksiz funksiya deyiladi.
Masalan, yuqorida ko‘rsatilganga asosan, funksiya ixtiyoriy oraliqda uzluksizdir. funksiya esa va uning ichida joylashgan ixtiyoriy oraliqda uzluksiz bo‘ladi, ammo nuqtalardan kamida bittasi kirgan sohalarda uzluksiz bo‘lmaydi.
Geometrik nuqtai-nazardan biror oraliqda uzluksiz funksiyani grafigi shu oraliqda yaxlit bir (uzluksiz) chiziqdan iborat funksiya deb qarash mumkin.
Masalan, funksiya grafigi ixtiyoriy oraliqda uzluksiz bo‘lgan paraboladan iborat.
5-Teorema: Agarda vа funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda , funksiyalar ham bu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Agarda qo‘shimcha ravishda shart bajarilsa, nisbat ham nuqtada uzluksizdir.
6-Teorema: Agar funksiya nuqtada, funksiya esa nuqtada uzluksiz bo‘lsa, unda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.