9-ma`ruza: suyuqlikning tekis va notekis xarakatlari. Reja

Р
ху
 = Р
ух
; Р
хz
 = Р
zх
; Р
уz
 = Р
zу
Shuning uchun, P tenzori
simmetrik tenzor
deb ataladi. Bu xossaning isboti maxsus kurslarda
keltirilgan bo’lib, biz u to’g’risida to’xtalib o’tirmaymiz. Shuningdek, tenzorning komponentlarini
tushuntirishlarsiz, tezlik va qovushqoqlik koeffisienti orqali ifodasini keltiramiz.
,
2
x
u
P
P
x
xx






,
2
y
u
P
P
y
yy






,
2
z
u
P
P
z
zz






,













y
u
x
u
P
P
x
y
yx
xy

(9.2)
,













x
u
z
u
P
P
z
x
zx
xz

,













z
u
y
u
P
P
y
x
zy
yz

bu erda Р – gidrodinamik bosim.
Bu ifoda
umumlashgan Nyuton gepotezasi
deb ataladi. Bu holda avvalgi mavzularda
aytganimizdek harakat tenglamasini tuzish mumkin bo’ladi. Tomonlari dx, dy, dz ga teng bo’lgan
parallelipiped ko’rinishdagi elementar hajm olsak (9.2-rasm) u holda Ох, Оу, Оz yo’nlishida og’irlik va
inersiya kuchlarini olganimizda, uchta kuch ta‘sir qiladi:
Ох бo’йича P
xx
, P
yx
, P
zx
Oy бo’йича P
xy
, P
yy
, P
zy
Oz бo’йича P
xz
, P
yz
, P
zz
Demak parallelipipedning (9.2-rasm) Ох o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha ta‘sir qiluvchi
kuchlarning teng ta‘sir etuvchisi quyidagiga teng:
.
z
р
y
р
х
р
zх
yх
хх








Оу o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha
,
z
р
y
р
х
р
zy
yy
хy








Оz o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha
z
р
y
р
х
р
zz
yz
хz








Dalamber prinsipidan foydalanib harakat tenglamasini tuzamiz u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

---

3

















z
p
y
p
x
p
X
dt
u
zx
yx
xx
x

1
,

















z
p
y
p
x
p
Y
dt
u
zy
yy
xy
y

1
(9.3)

















z
p
y
p
x
p
Z
dt
u
zz
yz
xz
z

1
.
Olingan tenglamaga (4.11), (4.12), (4.13) va (4.14) munosabatlarni kirisak, real suyuqliklarning
harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:






























2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
х
р
X
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
x
x
x
x
z
x
y
x
x
x


,
































2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
y
р
Y
z
u
u
y
u
x
u
u
t
u
y
y
y
y
z
y
y
y
x
x


, (9.4)






























2
2
2
2
2
2
1
z
u
y
u
x
u
z
р
Z
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
z
z
z
z
z
z
y
z
x
z


.
Bu hosil bo’lgan tenglamalar sistemasi real suyuqliklar uchun
Nave–Stoks tenglamasi
deyiladi. U
uchta tenglamadan iborat bo’lib, noma‘lumlar soni to’rtta;
U
x
, U
y
, U
z
, Р.
Shuning uchun real suyuqliklar
harakatini tekshirishda bu sistemaga (4.8) tenglama qo’shib Еchiladi.
9.2. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.
Eyler va Nave-Stoks tenglamalar sistemalarini Еchish yo’li bilan suyuqlik harakatlanayotgan
fazoning har bir nuqtasidagi tezlik va bosimni topish mumkin. Lekin bu sistemalarni Еchish katta
qiyinchiliklar bilan amalga oshiriladi, ko’p hollarda esa xatto Еchish mumkin emas. Shuning uchun
o’rtacha tezlikni topish bilan cheklanishga to’g’ri keladi. Buning uchun, odatda, Bernulli tenglamasidan
foydalaniladi. Bernulli tenglamasini ikki xil usul bilan topish mumkin.
Birinchi usul Eyler tenglamasidan foydalanish yo’li bilan amalga oshiriladi. Buning uchun (4.7)
sistemaning birinchi tenglamasini dx ga, ikkinchi tenglamasini dy ga, uchinchi tenglamasini dz ga
ko’paytiramiz va hosil bo’lgan uchta tenglamani qo’shamiz. Natijada quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:
)
(
1
|
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
Zdz
Ydy
Xdx
dz
dt
du
dy
dt
du
dx
dt
du
z
y
x















(9.5)
(4.10) munosabatdan ko’rinib turibdiki,
;
dt
u
dx
x

;
dt
u
dy
y

;
dt
u
dz
z

Shu munosabatdan foydalanib tenglamaning chap tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

---

4
)
(
2
1
2
2
2
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
u
u
u
d
du
u
du
u
du
u
dt
u
dt
du
dt
u
dt
du
dt
u
dt
du








(9.6)
lekin
)
2
2
2
2
z
y
x
u
u
u
u



Bo’lgani uchun (9.5) tenglama chap tomonining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
)
(
2
1
)
(
2
1
2
2
2
2
u
d
u
u
u
d
z
y
x



(9.7)
(9.3) tenglamaning o’ng tomonidagi
Zdz
Ydy
Xdx


biror kuch potensialining to’liq
differensialidir. Agar shu potensialni
)
,
,
(
z
y
x
f
F

bilan belgilasak, u holda quyidagiga ega bo’lamiz
dF
Zdz
Ydy
Xdx



(9.8)
Odatda, suyuqlikka ta‘sir qiluvchi massa kuch og’irlik kuchidir. U holda dekart koordinatalar
sistemasi quyidagicha bo’ladi:
gz
F


(9.9)
(9.5) tenglamaning o’ng tomonida yana bosim bilan ifodalanuvchi munosabat bo’lib, u bosimning
to’liq differensialini ifodalaydi, ya‘ni
dP
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p









(9.10)
(9.7), (9.8), (9.9), va (9.10) larni (9.5) ga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishga keladi:
0
)
(
1
)
(
2
1
2



gz
d
dP
u
d

Hosil bo’lgan tenglamani elementar oqimchaning 1-1 kesimidan (4.1-rasmga q.) 2-2 kesimigacha
integrallasak, quyidagi ko’rinishga keladi:
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
gz
g
p
u
gz
g
p
u





(9.11)
Bu tenglamadagi har bir had massa birligiga keltirilgan. Agar uni kuch birligiga keltirsak, ya‘ni g
ga ikki tomonini bo’lib yuborsak, u holda




g
ni hisobga olib, quyidagini olamiz:
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
z
p
g
u
z
p
g
u







(9.12)
Oxirgi tenglama 1738 yilda Bernulli tomonidan olingan bo’lib, uning nomi bilan ataladi va
gidravlika, suyuqlik va gazlar dinamikasi fanlarida harakatning asosiy tenglamasi bo’lib xizmat qiladi.
Bernulli tenglamasini quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin:
const
z
p
g
u




2
2
(9.13)
Ko’rinib turibdiki, Bernulli tenglamasida asosan
g
u
p
z
2
,
,
2

kattaliklarning yig’indisi
o’zgarmas ekan.
D. Bernullining o’zi yuqoridagi tenglamani energiyaning o’zgarish qonunidan keltirib chiqargan
bo’lib, biz keltirgan usul esa Eyler tomonidan qo’llanilgan.

---

5
9.3.Bernulli tenglamasining geometrik, energetik va fizik mazmunlari.
Bernulli tenglamasining har bir
I
2
va
I
3
o’zining geometrik va energetik mazmunlariga ega. Buni
aniqlash uchun biror elementar oqim olib, uch 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlarni ko’ramiz (9.3-rasm). Bu
kesimlarni og’irlik markazi biror 0-0 tekislikdan
I
1
,
I
2
va
I
3
masofalarda bo’lsin. Bular qiyosiy tekislik 0-0
dan elementar oqimgacha geometrik balandliklarni ko’rsatadi. Endi olingan 1-1, 2-2 va 3-3 tekisliklar
markazida pezometr va uchi egik naychalar urnatamiz. Bu holda pezometrlarda suyuqlik kesimlar
og’irligi markaziga nisbatan ma‘lum balandliklarga ko’tariladi. Bular bosimlarda ifodalanadi:
,
1
1

p
h

,
2
2

p
h

,
3
3

p
h

h
1
, h
2
, h
3
lar
pezometrik balandliklar
deb ataladi.
Uchi egilgan shisha naychalardagi balandlik
;
2
2
1
1
1
1
g
U
p
h



;
2
2
2
2
2
g
U
p
h




;
2
2
3
3
3
g
U
p
h




Pezometrlardagi suyuqlik balandlik bilan uchi egilgan shisha naychalardagi balandlik farqi
;
2
2
1
1
1
1
g
U
h
h


;
2
2
2
2
2
g
U
h
h



;
2
2
3
3
3
g
U
h
h



larga teng bo’ladi va
tezlik balandligi deyiladi
.
Shunday qilib geometrik nuqtai nazardan Bernulli tenglamasining hadlari quyidagicha ataladi:
g
U
2
2
1
,
g
U
2
2
2
,
.
2
2
3
g
U
- Suyuqlikning tegishli kesimlaridagi tezlik bosimi;
,
1

p
,
2

p

3
p
- pezometrik balandliklar;
,
1
Z
,
2
Z
3
Z
- geometrik balandliklar.
,
2
2
g
U
,

p
Z
- birliklari uzunlik birligiga
tengdir. Pezometrlardagi suyuqlik balandliklari
birlashtirsak hosil bo’lgan chiziq
pezometrik
chiziq
deyiladi. Bernulli tenglamasidagi tezlik
balandligi, 
pezometrik 
va 
geometrik
balanliklarning umumiy yig’indisi o’zgarmas
miqdor bo’lib, u 9.3-rasmda 0-0 chizig’i bilan

---

6
bilgilanadi va suyuqlikning
bosim tezligi
deb ataladi.
Gidrodinamikada bu uchta balandliklar
,
2
2
g
U
,

p
Z
ning yig’indisi suyuqlikning
to’liq bosimi
deb ataladi va Н harfi bilan belgilanadi.
,
2
2
g
U
Н

,

p
.
const
Z

Bular ideal elementar oqimchalar uchun Bernulli tenglamasining geometrik manosini bildiradi.
Uning energetik manosi kinetik energiyaning o’zgarish qonuni bo’yicha chiqarilishiga asoslangan.
Bernulli tenglamasi suyuqliklar uchun energiyaning saqlanish qonunidir. Bernulli tenglamasining chap
tomoni elementar oqimchaning 1-1 kesimidagi to’liq solishtirma energiyasi bo’lib, u 2-2 kesimdagi to’liq
solishtirma energiyaga teng yoki o’zgarmas miqdordir.
Bernuli tenglamasining energetik yoki fizik ma‘nosi quyidagicha bo’ladi:
g
U
2
2
1
,
g
U
2
2
2
,
.
2
2
3
g
U
elementar oqimchaning 1-1, 2-2, 3-3 kesimlarga tegishli solishtirma kinetik
energiyasi;
5
5
2
2
1
1
,
,
Z
P
Z
P
Z
P






elementar oqimcha kesimlari uchun solishtirma potensial energiya;
,
1

p
,
2

p

3
p
kesimlarga tegishli bosim ifodalanuvchi solishtirma energiya;
,
1
Z
,
2
Z
3
Z
, 1-1, 2-2, 3-3 kesimlarga tegishli og’irlik bilan ifodalanuvchi solishtirma energiya
Bernuli tenglamasi ikki kesimda tegishli hadlarining ayirmasidan tashkil topadi:
g
U
U
2
2
2
2
1

kinetik energiyaning birlik og’irlik uchun o’zgarishi:

2
1
P
P

bosim kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi:
,
2
Z
3
Z
og’irlik kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi.
Demak, suyuqlik harakat qilayotganda solishtirma kinetik va solishtirma potensial energiyalar
harakat davomida o’zgarib boradi, lekin, to’liq solishtirma energiya o’zgarmas bo’ladi.
NAZORAT SAVOLLARI
1. Real suyuqliklar deb nimaga aytiladi?
2. Suyuqliklarda qanday ichki kuchlar mavjud?
3. Gidrodinamik bosimning gidrostatik bosimdan farqi nima?
4. Zo’riqish kuchi deb nimaga aytiladi?
5. Tenzorlar deb nimaga aytiladi?
6. Zo’riqish tenzorining normal tashkil etuvchilari deb nimaga aytiladi?
7. Zo’riqish tenzorining urinma tashkil etuvchilari deb nimaga aytiladi?
8. Simmetrik tenzor deb nimaga aytiladi?
9. Umumlashgan Nyuton gepotezasi deb nimaga aytiladi?
10. Nave-Stoks tenglamasini tushuntiring.
11. Bernulli tenglamasini keltirib chiqarish ning qanday usullari mavjud?
12. Bernulli tenglamasini tushuntirib bering.