9-Ma’ruza. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsanu ustun va satr ranglari. Ushbu tenglik berilgan bo`lib, bu tenglikdagi xaqiqiy sonlar ma`lum, xaqiqiy sonlar esa noma`lum bo`lsa

15-§. MATRITSANING VA CHIZIQLI TENGLAMALAR
TIZIMINING RANGI

matritsaning ustunlarini S-o`lchamli vektorlar deb qaraymiz. A matritsaning ustunlaridan iborat bo`lgan vektorlar tizimining rangiga A matritsa ustunlarining rangi deb ataladi. Uni qisqalik uchun r_y{A) orqali belgilaymiz. Ravshanki,

Ushbu

tenglamalar tizimining echimi mavjudligi masalasini tekshirishga o`tamiz.
matritsaberilgan (a) chiziqli tenglamalar ti-zimi noma`lumlarining koeffiqientlari matritsasi va esa ( ) tizimning kengaytirilgan matritsasi bo`lsin. Bu matritsalar ustunlarining ranglari uchun
1-teorema (Kroneker - Kapelli). Berilgan ( ) chiziqli tenglamalar tizimining birgalikda bo`lishi uchun tenglikning bajarilishi zarur va kifoya.
I s b o t. Berilgan ( ) tizimning ozod-xadlaridan iborat bo`lgan ustunni V orqali belgilab, tizimni quyidagi vektor ko`rinishda yozib olamiz:

Berilgan ( ) tizim birgalikda bo`lsin deb faraz qilaylik. U xolda bundan va ( ) ifodadan V vektorning vektorlar orqali chiziqli ifodalanishi kelib chiqadi. tizimning rangi r ga teng bo`lib, uning ixtiyoriy bazisi bo`lsin. U xolda 2-§ dagi 3-teoremaga ko`ra, xar qanday vektor bu bazis orqali ifodalanadi. Demak, V vektor xam bu bazis orqali ifodalanadi. Bu tizimda xar qanday ta vektorning chiziqli bog`liqligini ko`rsatadi, ya`ni tenglik o`rinli.
Endi tenglik o`rinli bo`lsin deb faraz qilaylik. Bundan tizimning ixtiyoriy bazisi tizim uchun xam bazisligi kelib chiqadi. Bundan esa V vektorning tizim orqali chizikli ifodalanishi kelib chiqadi. Bu ( ) tenglamani va demak ( ) ni xam qanoatlantiruvchi noma`lumlarning qiymatlari mavjudligini ko`rsatadi.
Birgalikda bo`lgan (a) chiziqli tenglamalar tizimi uchun isbotlangan teoremaga asosan . Bu songa ( ) chiziqli tenglamalar tizimining rangi deymiz va r(a) orqali belgilaymiz. Ravshanki Xususan bo`lganda va faqat shu xoldagina tenglamalar tizimining barcha koeffitsientlari va ozod xadlari nol’ga teng.
2-teorema. Birgalikda bo`lgan ( ) chiziqli tenglamalar tizimining aniq bo`lishi uchun bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. Birgalikda bo`lgan ( ) tizimning aniqligidan ( ) munosabatga asosan V vektorning ustunlar orqali yagona usulda ifodalanishi kelib chiqadi. Bundan vektorlar tizimining chiziqli erkliligi kelib chiqishini ko`rsatamiz. Xaqiqatan biror ko`rinishidagi tenglik o`rinli bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu tenglikni ( ) tenglikka qo`shib, tenglikni olamiz. Oxirgi tenglik ko`rsatadiki, agar (x₁, ...x_p) vektor ( ) tizimning echimi bo`lsa, vektor ham echimdir. Echimning yagonaligidan tenglikni olamiz. Bu tengliklardan ya`ni A¹, ..., A" vektorlar tizimi chiziqli erkli. Demak
Aksincha, r(a) bo`lsin. U xolda {A<sup>1</sup>, ..., A"} vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lib, tizim esa chiziqli bog`langan. Bundan V vektorning A<sup>1</sup>,...,A" tizim orqali yagona usulda ifodalanishi, ya`ni ( ) tizimning yagona echimi borligi kelib chiqadi.
Natija. Agar n ta noma`lumli S ta bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi uchun Snol`dan farqli echimi mavjud.
I s b o t. Berilgan (a) bir jinsli tizimning vektor ko`rinishidagi ( ) tenglamasida bo`lib, u ushbu

ko`rinishga keladi. Bu tenglama ya`ni nol’ echimga ega. Demak, bir jinsli tizim doim birgalikda. Tizimda tenglamalarning soni S ta bo`lgani uchun ustunlar S-o`lchovli vektorlardir. Bundan va 14-§ 4-teoremaning 2-natijasidan (a) tizimning rangi uchun tengsizlik kelib chiqadi. Bu va Stengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik 2-teoremaga asosan (a) tizim echimlari sonining bittadan ortiqligini ko`rsatadi. Demak (a) tizimning nol’dan farqli echimi mavjud.
Bu paragrafdagi teoremalar matritsa ustunlarining rangini xisoblash masalasi muximligini ko`rsatadi.
matritsaning satrlarini n-o`lchovli vektorlar deb qarash mumkin. A matritsaning satrlaridan iborat bo`lgan vektorlar tizimining rangiga A matritsasatrlarining rangi deb ataladi. Uni qisqalik uchun r_s(A) orqali belgilaymiz. Ravshanki .
Keyingi paragrafda xar qanday A matritsa uchun tenglikni ko`rsatamiz va matritsalarni elementar almashtirish yordamida ranglarini xisoblash usuli bilan tanishamiz.