9 – Mavzu. Differensiallanuvchanlik va differensial. Differensialning geometrik ma’nosi. Differensial formasining invariantligi. Darsning texnologik haritasi

3. Funksiya differensiali va taqribiy formulalar. Funksiya differensiyali yordamida taqribiy formulalar yuzaga keladi.
Aytaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda da bo’ladi.
Ayni paytda f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, uning differensiali bo’ladi.
Ravshanki, bo’lib, da

bo’ladi. Natijada ya’ni taqribiy formula hosil bo’ladi.
(1) formula nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi f(x₀) ni uning shu nuqtadagi differensiali df(x₀) bilan almashtirish mumkinligini ko’rsatadi. Bu almashtirishning mohiyati funksiya orttirmasi argument orttirmasining umuman aytganda murakkab funksiyasi bo’lgan holda, funksiya differensiali esa argument orttirmasining chiziqli funksiyasi bo’lishidadir.
(1) formulada x=x-x₀ deyilsa, unda f(x) f(x₀)+f(x₀)(x-x₀)bo’ladi.
Misol. Ushbu sin29⁰ miqdor taqribiy hisoblansin.
Yechish. Agar f(x)=sinx, x₀ =30⁰ deyilsa, unda (2) formulaga ko’ra
Sin29⁰ bo’ladi. Ma’lumki nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya grafigiga (x₀,f(x₀)) nuqtada o’tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidag ko’rinishda yoziladi:
y=f(x₀)+f ^‘(x₀)(x-x₀)
Demak, (2) taqribiy formula geometrik nuqtai nazardan f(x) funksiya ifodalagan egri chiziqni x₀ nuqtaning yetarli kichiq atrofida shu funksiya grafigiga (x₀,f(x₀)) nuqtada o’tkazilgan urinma bilan almashtirilishini bildiradi.
(2) formulada x₀=0 deyilsa, u ushbu f(x) f(0)+f^’(0) ko’rinishga keladi.
F(x) funksiya sifatida (1+x) , ,ye^x,ln(1+x), sinx tgx funksiyalarni olib, ularga (3) formulani qo’llash Natijasida quyidagi taqribiy formulalarhosil bo’ladi:
(1+x) , e^x 1+x ,ln(1+x) x
Mashqlar. 1. Aytaylik, u va v lar differensiallanuvchi funksiyalari bo’lib, ularning differensiallari du va dv bo’lsin. Unda ushbu y=acrtg +ln funksiyaning differensiali topilsin.
2. Ushbu f(x)= funksiya x₀=0 nuqtada differensiallanuvchi bo’ladimi?

1. 
   Ushbu miqdorlarning taqribiy qiymatlari topilsin.
   

O’z-o’zini tekshirish uchun savollar

1.Funksiya differensiali tushunchasi.

2. Funksiya differensiali asosiy xossalari.
3. Funksiya differensialining taqribiy formulalar