9- ehtimolliklar nazariyasining limit teoremalari

9- Ehtimolliklar nazariyasining limit teoremalari
Ma‘lumki, tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatini avvaldan aytib bo’lmaydi. Ayni paytda yetarlicha ko’p tasodifiy miqdorlar yig’indisi tasodifiylik xususiyatini yuqotib, u ma‘lum darajada o’zgarmas bo’lish holatiga o’ta boradi.
Ma‘lumki, tasodifiy miqdorning matematik kutilishi o’zgarmas son bo’ladi. Tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini uning matematik kutilishi atrofida bo’lishi darajasini quyidagi teorema ko’rsatadi.
9.1-teorema. Chekli dispersiyaga ega bo’lgan ixtiyoriy tasodifiy miqdor va ixtiyoriy musbat son uchun
(9.21)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
(9.21) tengsizlik Chebishev tengsizligi deb ataladi.
Chebishev teoremasi. Agar
Х₁,Х₂, ...., Х_n... (9.22)
o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi chekli dispersiyaga ega bo’lib, ular bitta o’zgarmas son bilan chegeralangan, ya‘ni
D(Х_k) (k=1,2,3,….)
bo’lsa, u holda istalgan >0 (itarlicha kichik) uchun
(9.23)
bo’ladi.
Bu teorema n ning yetarlicha katta qiymatlarida
≈ (9.24)
taqribiy formula o’rinli bo’lishini, ya‘ni o’rganilgan tasodifiy miqdorlarning o’rta arifmetigi deyarli o’zgarmas miqdorga teng bo’lishini ko’rsatadi.
Xususiy holda М(Х_k)=a(k=1,2,..) bo’lganda (9.23) tenglik
(9.25)
ko’rinishni oladi.
Chebishev teoremasi teoremaning shartlarini qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdorlarning o’rta arifmetigi ularning matematik kutilishiga p ehtimol bo’yicha yaqinlashishini ko’rsatadi.
Bu teoramadan xususiy holda quyidagi Bernulli teoramasi kelib chiqadi.
9.2-teorema. Agar bog’liq bo’lmagan n ta tajribalarning har birida A hodisa o’zgarmas P ehtimollik bilan ro’y bersa, u holda tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda
(9.26)

bo’ladi, bu yerda - nisbiy chastota, p-har bir tajribada hodisa ro’y berish ehtimolligi, q=1-p.

9.3-teorema. (ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoramasi). Agar X₁, X₂,…X_n-bog’liqmas tasodifiy miqdorlar bo’lib, matematik kutilishi m va dispersiyasi б² bo’lgan bir xil taqsimot qonuniga ega bo’lsa, u holda n cheksiz ortganda ning taqsimot qonuni matematik kutilishi 0 va dispersiyasi 1 bo’lgan normal taqsimotga yaqinlashadi.
Demak, bu teorema tasodifiy miqdorlar yig’indilari ketma-ketliklarining qachon normal taqsimotga bo’ysunishini aniqlab beruvchi teoremadir.
Muavr-Laplasning local teoramasi bu teoremaning xususiy holidir.
12-misol. Har biri [0,4] kesmada tekis taqsimlangan 75 ta bog’liqmas tasodifiy miqdorlar qo’shilmoqda. Bu tasodifiy miqdorlar yig’indisining zichligi uchun taqribiy ifodani yozing va yig’indi 120 dan 160 gacha oraliqda bo’lish ehtimolligini toping.
Yechilishi. bunda X_k lar [0, 4] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlardir. U holda

Markaziy limit teoramasining shartlari bajarilmoqda. Shuning uchun tasodifiy miqdor taqsimot zichligi P(x) taqriban normal taqsimot zichligiga teng bo’ladi, ya’ni

bu yerda



va demak,

Endi izlayotgan ehtimolligini hisoblaymiz.

13-misol. Qo’rada boqilayotgan buzoqlarning o’rtacha og’irligi 100 kg, o’rtacha og’irlikdan chetlanishi 0,04. Tavakkaliga olingan buzoqning og’irligi 99,5 va 100,5 kg oralig’ida bo’lishi ehtimolligi qanday?
Yechilishi: Masala shartiga ko’ra D(X)=0,04; M(X)=100 va 99,5≤X≤100,5. Bu tengsizlikdan hadlab M(X)=100 ni ayiramiz: -0,5≤X-M(X) ≤0,5.
Bu tengsizlikka teng kuchli bol’gan X-M(X) 0,5tengsizlikni olamiz. Bu yerda ε=0,5. Chebishev tengsizligidan foydalanamiz:

kelib chiqadi.
14-misol. Sexda ishlab chiqarilayotgan mahsulotning nostandart bo’lishi 2% ni tashkil etadi. Tavakkaliga olingan 1000 ta mahsulotdan standart bo’lganlari soni 970 bilan 990 orasida bo’lishi ehtimolligini baholang.