8-amaliyot mashg`ulotlar. Chegaralangan va uzluksiz chiziqli funksionallar. Operatorlar fazosi. Operatorning normasi

2-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(6)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (6) tengsizlik kelib chiqadi.
3-ta’rif. chiziqli operatorning songa ko‘paytmasi elementga elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni

4-ta’rif. va chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib bo‘lsin. va operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir ga fazoning elementini mos qo‘yuvchi operator tushuniladi.
Agar va lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va
(7)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
м .
Bu yerdan (7) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.
Agar va lar chiziqli normalangan fazolar bo‘lsa, ham chiziqli normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni ,

funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi.
Operator normasini topishga misollar
Misol-1. - ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin. ,
birlik operator va nol operatorlarning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, ularning normasini hisoblang.
Yechish. Birlik operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini hisoblaymiz. Ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. Ta’rifga ko‘ra u chegaralangan va uning normasi 1 ga teng. Endi nol operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, uning normasini topamiz. Istalgan uchun tenglik o‘rinli. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Nol operator chiziqli normalangan fazoning nol elementi bo‘ladi.