8 – ma’ruza. Markaziy maydondagi harakat

Kepler masalasi
Gravitatsion maydon ta’siridagi osmon jismlarining harakatini o‘rganishda oldingi mavzularda olingan natijalardan foydalanamiz. Zarraning to‘liq energiyasi «effektiv» potensial energiyaga teng bo‘ladigan hollardagi radius vektori qiymatlari jismning harakat sohasi chegaralarini aniqlaydi.
(1)
, ,
Ellips uchun doim musbatdir, - ellips markazidan katta yarim o‘qdagi fokus masofasigacha bo‘lgan masofa. Takidlash lozimki ellipsning katta yarim o‘qi faqat jismning energiyasiga bog‘liq (impuls momentiga bog‘liq emas). Maydonning markazidan (ellips fokusidan) eng yaqin va uzoq masofalar quyidagi formulalardan topiladi.
(2)

Ellipsning orbita bo‘ylab harakat vaqtini impuls momentining saqlanishidan topish qulay.

Bunda radius vektor bo‘yagan sektorning yuzasi bo‘lib, bir davrda ellipsning yuzasiga ( ) teng bo‘ladi. Ellipsning katta va kichik yarim o‘qlari uchun (3.38) formuladan foydalanamiz.
(3)
Markaziy maydondagi harakat formulalaridan kelib chiqib Keplerning uchta qonunini izohlashimiz mumkin.
1-qonun. Kuyosh sistemasining har bir planetasi doimiy sektorial tezlik bilan yassi harakat qiladi.
Buni impuls momentining markaziy maydonlarda saqlanishidan ko‘ramiz, ya’ni teng vaqtlarda teng yuzalar o‘tiladi.
2-qonun. Barcha planetalar orbitalari ellipsdan iborat bo‘lib ularning umumiy fokuslarida Quyosh joylashadi.
Buni ikkinchi tartibli egri chiziq formulasidan ko‘ramiz (3).
3-qonun. Planetalarning aylanish davrlarining kvadratlari elliptik orbitalarining katta yarim o‘qlarining kubiga proporsionaldir.
Agar sun’iy yo‘ldosh orbitaga chiqqan bo‘lsa unga atmosfera ta’sir qilmaydi, faqat tortishish kuchi ta’sirida harakatlanadi.

Erni bir jinsli aylanmaydigan radiusli shar deb qaraymiz va tortishish kuchi .

Jism Er sirtida bo‘lsa doimiy hisoblanadi.

Potensial maydonda jismga ta’sir qiluvchi kuch ga teng.