8 – Маъруза. Чизиклимас тенгламалар системасини ечишнинг итерацион методлари

8 – Маъруза.


Чизиклимас тенгламалар системасини ечишнинг итерацион методлари.
Режа:

1. 
   Умумий тушунчалар.
   
2. 
   Стационар методнинг якинлашиши.
   
3. 
   Итерацион методлар мисоллари.
   

1. Умумий тушунчалар.
(1)
тенгламалар системасини караймиз. Бу ерда хакикий узгарувчиларнинг функцияси. Бундан кейин (1) - системани n- улчовли Н фазосидаги оператор тенглама сифатида караймиз.

каби белгилаб, (1) - системани
(2)
ихчам куринишда ёзамиз.
Бу ерда F : H H умуман чизиклимас акслантириш. (2) - системанинг купгина бир кадамли итерацион методларни
(3)
куринишда ёзиш мумкин, бу ерда х⁰ берилган , k - итерация номеридир.

параметр, B_k+1 - n x n , тескариси мавжуд булган матрицадир.
x^k+1 ни x^k оркали (3) - дан топиш учун
₍₄₎
чизикли тенгламалар системасини ечиш керак, бу ерда

Агар B_k+1 = E булса метод ошкор , акс холда ошкормас дейилади. Агар В ва -лар k боглик булмасалар метод стационар дейилади.


2. Стационар методнинг якинлашиши.
Фараз киламиз (3) - метод стационар булсин.
Унда уни
₍₅₎
куринишда , дастлабки тенгламани
(6)
куринишда ёзиш мумкин. Бу ерда

Н, n -улчовли чизикли нормаланган фазо булсин. х_* Н , (х_*)=х_* нукта (x) операторнинг кузгалмас нуктаси деб айтилади. Равшанки х_*, (x) операторнинг кузгалмас нуктаси булгандагина ва факат шундагина (2) - оператор тенгламанинг ечими булади. Шундай килиб (2) - оператор тенгламанинг ечимини кидириш (x)- нинг кузгалмас нуктасини топишга эквивалентдир. Агар q (0,1) ва ихтиёрий векторлар учун

бажарилса (x) оператор тўпламда кискартириб акслантириш деб айтилади. Энди биз кискартириб акслантириш принципи деб аталувчи ва
₍₇₎
оддий итерация методи якинлашиш шартини аникловчи теоремани келтиришга кодирмиз.
1- теорема. Фараз киламиз (x)

тўпламда аникланган ва q коэффициентли кискартириб акслантириш бўлиб
(8)
бўлсин. Унда нинг U_r(a) да ягона кўзгалмас нуктаси мавжуд бўлиб, (7) - итерацион метод ихтиёрий учун ягона х_* га якинлашади.
Хатолик учун
(9)
(10)
бахолар (тенгсизликлар) ўринли.


3. Итерацион методлар мисоллари.
1- мисол. Релаксация методи. Бу метод (3)-нинг хусусий холи бўлиб, B_k+1 = E , . Бу стационар методни

кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда

бўлганда метод якинлашади.
Бу ерда ва
(11)


2-мисол. Пикар методи.
F(x) = Ax +G(x) кўринишда тасвирланади. Бунда A – n x n матрица. Унда итерацияни

кўринишда аниклаш мумкин.
3- мисол. Ньютон методи.
Фараз киламиз аллакачон аникланган бўлсин. F(x) функцияни x^k да Тейлор формуласи бўйича ёйилмасини караймиз.

Бу тенгликдаги кичик хадни ташлаб
(12)
тенгликларни хосил киламиз. (12)- чизикли система ечимини x^k+1 якинлашиш сифатида караймиз. Шундай килиб Ньютоннинг итерацион методи
(13)
тенгламалар системаси оркали аникланади. Бу тенгликдан x⁰ дастлабки якинлашишдан фойдаланиб кетма-кет бошка якинлашишларни топамиз.


4-мисол. Якобининг чизиклимас методи.
(1) - система учун Якобининг чизиклимас методи
(14)
кўринишда бўлади. Бу ерда x^k+1 ни топиш учун n - та чизиклимас скаляр тенгламалар системасини ечишга тўгри келади. хар бир тенглама учун бирор-бир итерацион методни кўллаш мумкин.


5-мисол. Зейдельнинг чизиклимас методи.
Бу метод кетма-кет

тенгламаларни номаълумга нисбатан ечишдан иборат.


Таянч иборалар:

Илдиз (ечим).

Ораликни тенг иккига булиш.
Илдизларни ажратиш.
Илдизга кетма-кет якинлашиш.
Такрибий илдизнинг хатолиги.
Якинлашиш тезлиги.
Интерполяцион метод.


Текшириш учун саволлар.

Ечим нима?

Такрибий ечим нима?
Хатолик нима?
Итерацион метод нимадан иборат?
Бисекция методи нимадан иборат?
Оддий итерация методи кандай?
Ньютон методи нимадан иборат?
Интерполяцион методи нимадан иборат?
Якинлашиш кандай аникланади?
µайси метод тез якинлашади?


Адабиётлар:

А.А. Самарский, А.В. Гулин “Численные методи”. ´к. µул. М. Наука. 1989.

М.И. Исроилов, “хисоблаш методлари”, Тошкент, ´китувчи. 1988.