7-mavzu koʻp oʻlchovli tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari. Kovariatsiya momenti va korrelyatsiya koeffitsiyenti

Taʼrif 3. ( ikki oʻlchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi deb, taqsimot funksiyadan olingan ikkinchi tartibli aralash hosilaga aytiladi:

Xossalari:
.
.
.
.
. uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi-

. uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi-

Kovariatsiya momenti

Koʻp oʻlchovli diskret tasodifiy miqdor boʻlganda kovariatsiya momenti quyidagicha hisoblanadi:

yoki

Koʻp oʻlchovli uzluksiz tasodifiy miqdorlar berilganda kovariatsiya koeffitsiyenti quyidagicha topiladi:

va tasodifiy miqdorlar erkli boʻlsa, kovariatsiya koeffitsiyenti nolga teng boʻladi. Ushbu kattalikning kamchiligi shundagi u va tasodifiy miqdorlarning oʻlchov birliklariga bogʻliq boʻladi, bu esa juda koʻp amaliy masalalarda noqulaylik tugʻdiradi. Oʻlchov birliklaridan qutulish uchun korrelyatsiya koeffitsiyenti kiritiladi.
Korrelyatsiya koeffitsiyenti

Xossalari:

1. 
   
   
2. 
   va tasodifiy miqdorlar chiziqli bogʻlanmagan boʻladi.
   
3. 
   va tasodifiy miqdorlar oʻrtasidagi bogʻliqlik yoʻnalishi teskari boʻladi.
   
4. 
   va tasodifiy miqdorlar oʻrtasidagi bogʻliqlik yoʻnalishi bir xil boʻladi.
   
5. 
   va tasodifiy miqdorlar oʻrtasidagi chiziqli bogʻliqlik mavjudligini anglatadi.
   

M isol. Talabalarning oʻzlashtirishi bilan ularni qoldirgan dars soatlari oʻrtasidagi korrelyatsiya koeffitsiyenti topilsin.

Ehtimollar yigʻindisi birga teng boʻlishi kerak edi, shuning uchun ham jadvaldagi talabalar sonini jami talabalar soniga boʻlsak quyidagi jadvalga ega boʻlamiz:

Korrelyatsiya koeffitsiyentini topish uchun va tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini topamiz;

=4*2*0.05+4*3*0.15+4*4*0.2+4*5*0.15+10*2*0.1+10*3*0.05+10*4*0.05=13.9

Demak korrelyatsiya koeffitsiyentining manfiyligi talabalarning oʻzlashtirishi bilan ularning dars qoldirishlari soni teskari bogʻlanganligidan dalolat beradi. Ular bir-biriga 48,8% bogʻliqliligini anglatadi.