7- mavzu 7-ma`ruza

1.4.5. Vektorning koordinatalari

Tekislikdagi bazis deb, istalgan ikkita chiziqli erkin vektorga aytiladi.
5- natija va 3- teoremaga ko‘ra tekislikdagi istalgan vektorni bazis bo‘yicha yagona ko‘rinishda yoyish mumkin, ya’ni
. (1.4.7)
(1.4.7) tеnglikka vеktоrning bazis bo‘yicha yoyilmasi, sonlarga
vеktоrning bazisdagi affin kооrdinatalari dеyiladi va deb
yoziladi.
Fazodagi bazis deb, istalgan uchta chiziqli erkin vektorga aytiladi.
5-natijada keltirilgan xulosalarga ko‘ra uch o‘lchovli fazodagi istalgan vektorni bazis bo‘yicha yagona ko‘rinishda yoyish mumkin, ya’ni
. (1.4.8)
Bunda sonlar vеktоrning bazisdagi affin kооrdinatalari
bo‘ladi, ya’ni .
F azodagi bazis sifatida o‘zaro perpendikular bo‘lgan birlik vektorlarni olaylik. Bunday bazis ortonormallashgan bazis deyiladi. Bunda vektorlar bazis ortlari deb ataladi.
Koordinatalar boshidan mos ravishda bazis ortlari yo‘nalishida o‘tkazilgan o‘qlarga koordinata o‘qlari deyiladi. o‘qlardan tashkil topgan koordinatalar sistemaga to‘g‘ri burchakli (yoki dеkart) kооrdinatalar sistе-masi deyiladi.
Fazoda ixtiyoriy vektorni olib, uning boshlang‘ich nuqtasini koordinatalar boshiga keltiramiz, ya’ni vektorni hosil qilamiz (15-shakl).
vektorning koordinata oq‘laridagi proeksiyalarini topamiz. Buning uchun vektorning oxiridan koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar o‘tkazamiz va ularning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda orqali belgilaymiz. Bu tekisliklar koordinata tekisliklari bilan birgalikda diagonallaridan biri vektor bo‘lgan to‘g‘ri burchakli parallelepipedni hosil qiladi.
Bundan | |, | |, | |.
Bir nechta vektorlarni qo‘shish qoidasiga ko‘ra .
ni hisobga olsak,
. (1.4.9)
Shunindek
| | , | | , | | . (1.4.10)
vektorning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalarini mos ravishda va orqali belgilaymiz, ya’ni | | , | | , | | .
U holda (1.4.9) va (1.4.10) tengliklardan topamiz:
. (1.4.11)
(1.4.11) tеnglikka vеktоrning bazis bo‘yicha yoyilmasi, sonlarga vеktоrning dekart kооrdinatalari dеyiladi va deb yoziladi.
vektor berilgan bo‘lsin. To‘g‘ri burchakli parallelopipedning
diagonali haqidagi teoremadan topamiz: | | | | | | | | ,
ya’ni
Bundan
, (1.4.12)
ya’ni vektorning uzunligi uning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari kvadratlarining
yig’indisidan olingan kvadrat ildizga teng.
vеktоrning , o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari mos ravishda bo‘lsin (12-shakl).
lar vektorning yo‘naltiruvchi kоsinuslari dеb ataladi.
Vektorning o‘qdagi proeksiyasi xossasidan topamiz:
, , .
Bundan
, (1.4.13)
(1.4.13) tenglikdan (1.4.12) ifodani hisobga olib, topamiz:
, (1.4.14)
ya’ni nol bo‘lmagan vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari kvadratlarining yig‘indisi birga teng.
Bundan birlik vektorning koordinatalari bo‘lishi kelib
chiqadi, ya’ni .
Misol
Uzunligi ga teng vektor koordinata o‘qlari bilan , li burchaklar tashkil qiladi. vektorning koordinatalarini topamiz.
Buda vektorning o‘qdagi proyeksiyasining 1-xossasisiga ko‘ra:

Vektorning uzunligini topamiz:

Bundan yoki va
Demak,
va
va vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo‘lsin:
, .
Vektorning o‘qdagi proeksiyasining xossalaridan foydalanib, topamiz:
, (1.4.15)
ya’ni vektorlar qo‘shilganida (ayriganida) ularning mos koordinatalari qo‘shiladi (ayriladi);
, (1.4.16)
ya’ni vektor songa ko‘paytirilganida uning barcha koordinatalari shu songa ko‘payadi;
(1.4.17)
ya’ni teng vektorlarning mos koordinatalari teng bo‘ladi.
Misol
vektor berilgan. Bu vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan, kollinear va uzunligi bo‘lgan vektorning koordinatalarini topamiz.
vektorning koordinatalari , ya’ni bo‘lsin deylik.
va vektorlar kollinear bo‘lsa bo‘ladi, bu yerda ixtiyoriy son.
U holda ikki vektorning tengligi shartidan yoki
.
Bu koordinatalarni va vektorning uzunligini hisobga olib, topamiz:
yoki
va vektorlar qarama-qarshi yo‘nalgani uchun ya’ni
Demak,
Koordinatlar boshiga qo‘yilgan va oxiri nuqta bo‘lgan vektorga nuqtaning radius vеktоri dеyiladi va bilan belgilanadi. Bunda radius vektor nuqtaning koordinatalarini aniqlaydi, y’ani .
vektorning boshi nuqtada va oxiri nuqtada bo‘lsin.
va nuqtalarning radius vektorlarini mos ravishda va deylik. U holda va bo‘ladi.
16-shaklga ko‘ra .
Bundan (6.11.1.4) tenglikka asosan, topamiz:

yoki
, (1.4.18)
ya’ni vеktоrning kооrdinatalari uning охirgi va bоshlang‘ich nuqtalari mos
kооrdinatalarining ayirmasiga tеng.
Misol
Parallelogrammning uchta ketma-ket uchi berilgan: , , . diagonal uzunligini topamiz.
Masalani yechish uchiun parallelogramm uchning koordinatalari kerak bo‘ladi. Bu nuqtani parallelogramm uchun tenlikning bajarilishi shartidan aniqlaymioz. va vektorlarni boshi va oxirining koordinatalariga ko‘ra vektorni topish formulasi bilan topamiz:

U holda tenlikdan yoki kelib chiqadi.
vektorning koordinatalarini topamiz:

U holda