6-sinf matematika kursida musbat va manfiy sonlar

1-BOB. MATEMATIKA KURSIDA MUSBAT VA MANFIY SONLAR 
TUSHUNCHASI 
1.1
 
Sonlar nuri va musbat sonlar haqida tushuncha. 
Boshi O nuqtada bo'lgan, chapdan o'ngga qarab gorizontal yo'nalgan OX nurni 
chizamiz. Bu yo'nalishni nur tasvirining o'ng tomoniga qo'yilgan strelka ko'rsatib 
turibdi. Bu nurda biror E nuqtani belgilaymiz. Hosil bo'lgan OE kesmani birlik 
kesma sifatida olamiz. Nurning boshi O nuqta tagiga 0 sonini, E nuqta tagiga esa 1 
sonini yozamiz. Bu holda, E nuqta OX nurda 1 sonini tasvirlaydi. 
OX nurda 2 sonini tasvirlash uchun nurga birlik kesmani O nuqtadan ketma-ket 
ikki marta qo'yamiz. Hosil bo'lgan A nuqta nurda 2 sonini tasvirlaydi. Agar nur 
boshidan birlik kesmani uch marta ketma-ket qo'ysak, 3 sonining nurdagi tasviri B 
nuqtani hosil qilamiz va hokazo.
Nurning oxiri bo'lmagani uchun unda istalgan natural sonni nurda yuqoridagi 
usuldan foydalanib tasvirlash mumkin. Natijada, cheksiz shkalani hosil qilamiz. Bu 
shkala sonlar nuri yoki koordinatalar nuri deb ataladi. 
O, E, A, B nuqtalarga mos kelgan 0, 1, 2, 3 sonlari bu nuqtalarning 
koordinatalari deb ataladi va bu O(0), E(1), A(2), B(3) tarzida yoziladi. 
Ko'rib turganingizdek, strelka yo'nalishida nuqtalarning koordinatalari 
o'sib boradi va aksincha, strelkaga qarama-qarshi yo'nalishda nuqtalarning 
koordinatalari kamayib boradi. 
Sonlar nurida har qanday natural son nuqta bilan tasvirlanib, o'zining muayyan 
o'rniga ega. 
Natural son tushunchasi matemati kaning asosiy tushunchalaridan biridir. U 
butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida 
vujudga kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati 
ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi. O'zining rivojlanish davrida 
natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli 

---

4 
to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri 
bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik 
o`rnatishgan, ya'ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni 
sanamasdan idrok qilganlar. 
Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, 
shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda 
sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural 
sonlar ning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo'la boshladi. 
Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib 
qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi. 
Sonni va sonlar ustida amal larni o'rgana boshlagan fan Arifmetikas nomini oldi. 
Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda 
vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to'plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada 
rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind, 
Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa 
Yevropalik olimlar katta hissa qo'shdilar. Natural son atamasini birinchi bo'lib 
rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi. 

---

5 
Son tushunchasining kenggayishi jarayonidagi dastlabki to’plam natural sonlar 
to’plami N bo’ladi. Juda qadim zamonlarda paydo bo’lgan natural son tushunchasi 
ko’p asrlar davomida kengaydi va umumlashtirildi. Kattaliklarni (miqdorlarni) 
yanada aniqroq o’lchashga bo’lgan talab musbat kasr sonlar tushunchasiga olib 
keldi.
Kasrlarning paydo bo’lish tarixi kattaliklarni o’lchash bilan bog’liq.
Agar bir metr uzunlikdagi yog’ochni o’zaro teng ikki bo’lakga bo’linsa, u holda 
bo’laklarning har birining uzunligi ana shu yog’och uzunligining yarmiga teng 
bo’ladi va uni 
1
2
kabi yoziladi. Agar ana shu bir metr uzunlikdagi yog’ochni o’zaro 
teng uch bo’lakka bo’linsa, u holda bo’laklardan har birining uzunlngi shu yog’och 
uzunligining uchdan biriga teng bo’ladi va uni 
1
2
kabi yoziladi.
Agar bir metr uzunlikdagi yog’ochni teng uch bo’lakka bo’lib, undan ikki 
qismini oladigan bo’lsak, olingan uzunligini 
2
3
kabi yoziladi.
Agar ana shu yog’ochni to’rt bo’lakga bo’lib, undan uch qismini olsak, olingan 
qism uzunligini kabi 
3
4
ifodalanadi. Yuqorida qilingan mulohazalarga asoslanib kasr 
tushunchasining ta’rifini quyidagicha berish mumkin.
Ta‘rif. Butun sonning o’zaro teng bo’lgan ma’lum bir ulushi, shu sonning kasri 
deyiladi. Yuqorida kasr sonlarni hosil qildik. Berilgan narsalarni yoki butun sonni 
qancha teng qismga bo’linganligini ko’rsatuvchi sonni kasrning maxraji, shunday 
qismdan nechtasi olinganligini ko’rsatuvchi sonni kasrning surati deyiladi. Maxraj 
kasr chizig’ining ostida, surat esa kasr chizig’ining ustiga yoziladi. Umumiy holda 
kasrni 
𝑝
𝑞
ko’rinishda ifodalanadi. Bunda p - kasrning surati, q - kasrning maxraji deb 
yuritiladi. ko’rinishdagi kasrlarga qarama-qarshi kasrlarni -
𝑝
𝑞
ko’rinishda 
ifodalanadi. Koordinata o’qida -
𝑝
𝑞
ko’rinishdagi kasrlar nol sonidan chapda 
joylashgan bo’ladi. Biz butun sonlar to’plamini kengaytirish orqali -
𝑝
𝑞
va 
𝑝
𝑞
ko’rinishdagi kasrlarni hosil qildik. Natijada koordinata o’qida {-
𝑝
𝑞
, 0, 
𝑝
𝑞
} 
ko’rinishdagi sonlar to’plami hosil bo’ldi.

---

6 
Ta‘rif. Barcha natural, butun manfiy va nol sonlari birgalikda butun sonlar 
to’plami deyiladi. 
Bu yerda natural sonlarga nisbatan qarama-qarshi sonlar barcha butun manfiy 
sonlardir, masalan, 1 va - 1, 2 va -2, 3 va -3, .... qarama-qarshi sonlar barcha butun 
manfiy sonlardir; Butun sonlar to’plamida faqatgina 0 soniga nisbatan qarama-
qarshi bo’lgan son yo’qdir:
0 = 0 + 0
Butun sonlar to’plamida har doim qo’shish, ayirish, ko’paytirish amallarini 
bajarish o’rinlidir, lekin bo’lish amali har doim bajarilavermaydi. Chunki bir butun 
sonni ikkinchi butun songa bo’lganda har doim bo’linmada butun son hosil 
bo’lavermayda. Masalan, 7:2 = 3,5, 9:4 = 2,25. Bu yerda hosil qilingan bo’linmadagi 
3,5; 2,2 sonlari butun sonlar to’plamida mavjud emas. Umuman olganda m*x=n, 
m

0 ko’rinishdagi tenglamaning yechimi butun sonlar to’plamida har doim mavjud 
emas, bu tenglama har doim x =
𝑚
𝑛
ko’rinishdagi yechimga ega bo’lishi uchun kasr 
tushunchasini kiritish orqali butun sonlar to’plamini kengaytirib, unga barcha 
manfiy va musbat kasr sonlarni qo’shish kerak. Bu degan so’z {-
𝑝
𝑞
, 0, 
𝑝
𝑞
}
ko’rinishdagi ratsional sonlar to’plamini hosil qilish kerak deganidir. Shundagina 
m*x=n ko’rinishdagi tenglamalar har doim yechimga ega bo’ladi. Bu yerda r va q 
lar natural sonlardir.
Manfiy sonlar tushunchasining paydo bo’lishi tenglamalarni yechish va nazariy 
izlanishlar bilan bog’liq. Nol avval sonning yoqligini bildirgan bo’lsa, manfiy 
sonlarning kiritilishi bilan butun sonlar to’plami Z da hamda ratsional sonlar 
to’plami Q da teng huquqli songa aylandi.
Bizning eramizgacha V asrda Pifagor maktabida musbat ratsional sonlar 
kesmalar uzunliklarini aniq o’lchash uchun yetarli emasligi ma’lum bo’lgan va 

---

7 
keyinroq bu muammo hal qilingandan keyin irratsional sonlar paydo bo’ldi. XVI 
asrda esa o’nli kasrlarning kiritilishi bilan haqiqiy sonlarga qadam qo’yilgan. 
Haqiqiy sonlar to’plami sonlar tushunchasining oxiri emas. Son tushunchasining 
kengayishi jarayoni davom etishi mumkin va u davom etadi. Buni fizika va 
matematika, hamda boshqa fanlarning rivojlanishi taqazo etadi.