6-Mavzu. Korrelyasion-regression taHlil

- Ko’p omilli korrelyasiya. Bunda uch, to’rt juft va undan ortiq belgilar o’rtasidagi bog’liqlik o’rganilib, bu belgilardan biri hamma vaqt – natijaviy, qolganlari esa – omil belgilardir.
Yo’nalishlarning o’zgarishiga qarab, bu bog’lanishlar:
- To’g’ri chiziqli bog’lanish – bu matematik to’g’ri chiziqli tenglama orqali ifodalanib, grafikda esa - to’g’ri chiziq orqali namoyon bo’ladi.
Egri chiziqli bog’lanish – bu matematik egri chiziqli tenglama orqali ifodalanib, grafikda esa – egri chiziq orqali namoyon bo’ladi.
Yo’nalishiga qarab esa, bu bog’lanishlar:
To’g’ri bog’lanish – bu omil belgining o’zgarishi bilan shunga muvofiq ravishda natijaviy belgi ham o’zgarib turadi. Masalan, yerning sifati – omil (x) belgi bo’lib hisoblansa, hosildorlik esa – natijaviy (u) belgi bo’lib hisoblanadi.
Teskari bog’lanish – bu omil belgi bilan natijaviy belgi qarama-qarshi yo’nalishga o’zgarib turadi. Masalan, hosildorlik – omil (x) belgi bo’lib hisoblansa, bir birlik mahsulotning tannarxi esa – natijaviy (u) belgi bo’lib hisoblanadi.
Endi natijaviy belgi bilan omil belgilar o’rtasidagi bog’lanishlarni quyidagi shartli raqamlar misolida ko’rib chiqamiz (354-355 betlardagi 96-100 jadvallarga qarang).
Har ikkala ishoralar (x- ) va (u- ) ning to’la bir-biri bilan mos tushishi X va U o’rtasidagi bog’lanishning to’la to’g’ri chiziqli bog’lanish ekanligidan dalolat beradi,
chunki:
(x- ) (u- ) = +27,5
72-jadval
To’la to’g’ri chiziqli bog’lanish

X	3	5	7	10
U	15	17	20	22
(x- )	-3,25	- 1,25	+ 0,75	+3,75
(u- )	-3,50	1,50	+ 1,50	+3,50
(x- ) (u- )	+11,375	+1,875	+1,125	+ 13,125 =+ 27,5

73-jadval
To’la teskari chiziqli bog’lanish

X	3	5	7	10
U	22	20	17	15
(x- )	-3,25	-1,25	+0,75	+3,75
(u- )	-3,5	+1,50	-1,5	-3,5
(x- ) (u- )	-11,375	-1,875	-1,125	- 13,125= -27,5

Har ikkala ishorlar (x- ) va (u- ) ning to’la bir-biri bilan mos tushmasligi X va U o’rtasidagi bog’lanishning to’la teskari chiziqli bog’lanish ekanligidan dalolat beradi,
chunki:
(x- ) (u- ) = -27,5.
74-jadval
Qisman to’g’ri chiziqli bog’lanish

X	3	5	7	10
U	15	20	17	22
(x- )	-3,25	-1,25	+0,75	+ 3,75
(u- )	-3,50	+1,50	-1,50	+ 3,50
(x- ) (u- )	+11,375	-1,875	-1,125	+ 13,125= + 21,5

Har ikkala ishoralar (x- ) va (u- ) ning bir-biri bilan qisman mos tushishi X va U o’rtasidagi bog’lanishning qisman to’g’ri chiziqli ekanligidan dalolat beradi, chunki:
(x- ) (u- ) = +21,5
75-jadval
Qisman teskari chiziqli bog’lanish

X	3	5	7	10
U	22	17	20	15
(x- )	-3,25	-1,25	+0,75	+3,75
(u- )	+3,50	-1,50	+1,50	-3,50
(x- ) (u- )	-11,375	+1,875	+1,125	- 13,125= - 21,5

Har ikkala ishoralar (x- ) va (u- ) ning bir-biri bilan qisman mos tushmasligi X va U o’rtasidagi bog’lanishning qisman teskari chiziqli ekanligidan dalolat beradi,
chunki: (x- ) (u- ) = - 21,5.

76-jadval

Nol koeffisiyentli bog’lanish

X	3	5	7	10
U	20	15	22	17
(x- )	-3,25	-1,25	+0,75	+3,75
(u- )	+1,50	-3,50	+3,50	-1,50
(x- ) (u- )	-4,875	+4,375	+2,625	-5,625=-3,5

Ishoralar (x- ) va (u- ) ning qisman mos tushishi hamda (x- ) (u- ) tobora nolga yaqinlashishi har ikkala belgi o’rtasida bog’lanish yo’qligidan dalolat beradi.
Bunda (x- ) (u- ) =
Shuning uchun ham ikkala belgi o’rtasidagi bog’lanish zichligi (x- ) (u- )ning eng quyi va eng yuqori qiymatlari nisbati bilan aniqlanadi:

bu yerda: - to’g’ri chiziqli korrelyasiya koeffisiyenti
Bu koeffisiyent –1 dan +1 gacha qiymatlarni qabul qilib, bog’lanishning to’g’ri, teskari va nol koeffisiyentligini belgilab beradi. Jumladan,  0 bo’lsa, u holda bog’lanish to’g’ri chiziqli, > 0, u holda bog’lanish teskari chiziqli va =0 bo’lsa, u holda belgilar o’rtasida bog’lanish mutlaqo yo’qligidan dalolat beradi.
ning 1 yaqinlashish darajasi u yoki bu ko’rinishdagi bog’lanishning turini aniqlab beradi (101-jadvalga qarang):
77-jadval
ning qiymatiga qarab, bog’lanish
kuchining turlari

qiymati	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9 va undan yuqori
bog’lanish kuchi	bo’sh	o’rta miyona	Sezilarli	yuqori	Juda ham yuqori

Statistikada bu o’zaro bog’lanishlarni o’rganish uchun maxsus usullardan foydaniladi. Xususan, funksional bog’lanishlarni tekshirish uchun balans va guruhlash, korrelyasion bog’lanishlarni o’rganish uchun esa parallelqatorlar, iqtisodiyindekslar, dispersion va korrelyasion – regression tahlil usullari keng qo’llaniladi.

Balans – bu hodisa va jarayonlarni muayyan tarixiy sharoitda, aniq zamon va makonda yaxlit holda tavsiflovchi bir-biriga bog’liq iqtisodiy ko’rsatkichlar tizimi bo’lib, hodisani butunligicha o’rganishga imkon beradi. Balans usuli ishlab chiqarish bilan iste’mol, iste’mol bilan jamg’arma, aholi pul daromadlari bilan xarajatlar va shu kabi nisbatlar o’rtasidagi bog’lanishlarni o’rganishda keng qo’llaniladi. Masalan, har qanday korxonadagi moddiy resurslarning balansi quyidagi oddiy tenglik yordamida tekshiriladi:

Yil boshidagi qoldiq

+

Yil davomida olib kelingan moddiy resurslar

=

Yil davomida xarajat qilingan resurslar

+

Yil oxiridagi qoldiq

Hodisalarning o’zaro bog’liqlik darajasi analitik guruhlash orqali ham aniqlanadi. Bu guruhlash yordamida omilli va natijaviy belgilar o’rtasidagi bog’liqlik o’rganiladi. Analitik guruhlash odatda omil belgi asosida amalga oshirilib, har bir guruh uchun natijaviy belgilarni tavsiflovchi o’rtacha va nisbiy miqdorlar hisoblanadi. So’ngra har ikkala belgi o’rtasidagi bog’lanishni kuzatish maqsadida natijaviy belgilarning o’zgarishi omil belgi o’zgarishi bilan taqqoslanadi.

Muayyan davr (vaqt) ichida belgilar o’rtasidagi bog’lanishni oddiy yondosh qatorlarni tuzish yordamida ham o’rganish mumkin. Buning uchun dastlab taqqoslanayotgan belgilar o’rtasida bog’lanish mavjudligi nazariy jihatdan aniqlab chiqiladi. So’ngra har ikkala qator yonma-yon joylashtirilib, bir-biri bilan taqqoslanadi. Masalan, mehnat unumdorligi bilan ish haqi darajasi o’rtasidagi to’g’ri mutanosib bog’lanishni ikkala davriy dinamika qatorlari misolida tekshirishimiz mumkin.
Korrelyasion bog’lanish uslubi quyidagi vazifalarni bajaradi:

1. 
   Natijaviy belgining maksimal o’zgarishida bir yoki bir necha omil belgining ta’sirini aniqlaydi;
   

2. 
   Natijaviy belgida jami variasiya miqdorini aniqlash va omil belgining ta’sirini baholash;
   

3. 
   Natijaviy belgining bir yoki bir necha omil belgilar o’rtasidagi bog’liqlikning zichligini ko’rsatishdan iboratdir va hokazo.
   

6.2. Oddiy korrelyasiya (juft)

Korrelyasion bog’lanishning oddiy ikki belgi orasidagi ko’rinishi

- natijaviy belgi
- omilli belgi
mavjudligi bilan tavsiflanadi.
Bunday bog’lanish juft (oddiy) bog’lanishli korrelyasiya deb ataladi va buni quyidagi misol orqali ko’rib chiqamiz (78-jadvalga qarang):
78-jadval
Paxta hosildorligi va yerning sifati to’g’risidagi ma’lumotlar

xo’jaliklar raqami ko’rsat- kichlar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Yerning sifati, ballda	45	72	50	48	52	60	90	65	70	95
Paxtaning hosildorligi, s/ga	15	20	22	18	20	22	26	24	26	32

Ushbu misolimizda yerning sifati (ballda) omil belgi bo’lib hisoblansa, uning hosildorligi esa natijaviy belgi bo’lib hisoblanadi. Bu ko’rsatkichlar o’rtasida, ya’ni yerning sifati bilan uning hosildorligi o’rtasida nazariy jihatdan to’g’ri bog’lanish mavjuddir. Bunda yerning sifati oshib borishi natijasida hosildorlik ham oshib boradi. Buni grafikda quyidagi tasvirda keltirish mumkin (33-chizmaga qarang):





Іосилдорлик, ц/га



Ернинг сифати, баллда

31-chizma. Yerning sifati bilan paxta hosildorligi o’rtasidagi nazariy bog’lanishli regressiyasi.
Ushbu grafikda absissa o’qi bo’yicha omil belgi (x) ning va ordinata o’qi bo’yicha esa natijaviy belgi (u) ning hadlari keltiriladi hamda ularning shu grafikda kesishgan nuqtasida nazariy bog’lanishi o’rganiladi. Bu bog’liqlikni to’g’ri chiziqli bog’lanishli regressiya tenglamasi orqali keltirib o’tish mumkin:

bu yerda - - natijaviy belgining o’rtacha ahamiyati (hosildorlik, mahsuldorlik va shu kabi bog’liq bo’lgan o’zgaruvchi);
x - omil belgining ahamiyati (yerning sifati, 1-ga yerga solingan o’g’it miqdori va shu kabi bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi);
va - tenglamaning parametrlari, ya’ni boshlang’ich daraja (ozod had) va o’rtacha ortish darajasi (regressiya tenglamasining koeffisiyenti)

Ushbu tenglamadagi noma’lum bo’lgan va parametrlarni hisoblashda ikki normal tenglama sistemasinituzish va uni yechish orqali amalga oshiriladi, ya’ni:

bu yerda – n - to’plamdagi qatorlar soni;

x - omil belgining yig’indisi;

x² - omil belgi kvadratining yig’indisi.

u - natijaviy belgining yig’indisi;
ux - omil belgining natijaviy belgining
ko’paytmasining yig’indisi.
Endi 78-jadval ma’lumotlari asosida a va v⁴⁹ parametrlarni hisoblab chiqamiz (79-jadvalga qarang):
79-jadval
Yerning sifati va paxta hosildorligi o’rtasidagi to’g’ri chiziq bog’lanishli regressiya ikki normal tenglama sistemasini hisoblash jadvali

T/r	Paxta hosildorligi, s/ga u	Yerning sifati, ballda x	u^2	x^2	ux	Kutilayotgan paxta hosildor-ligining yerning sifatiga bog’liqligi,
1	15	45	225	2025	675	17,79
2	20	72	400	5184	1440	24,25
3	22	50	484	2500	1100	18,99
4	18	48	324	2304	864	18,51
5	20	52	400	2704	1040	19,47
6	22	60	484	3600	1320	21,38
7	26	90	676	8100	2340	28,55
8	24	65	576	4225	1560	22,57
9	26	70	676	4900	1820	23,77
10	32	95	1024	9025	3040	29,74
Jami	225	647	5269	44567	15199	225,0

Ushbu jadvalda hisoblangan natijalarni regressiya ikki normal tenglama sistemasiga qo’yib chiqamiz, ya’ni:

Bu tenglamani shu tenglamadagi a-parametrlarning oldidagi koeffisiyentlariga bo’lib chiqamiz:

Endi ikkinchi tenglikdan birinchi tenglikni ayirib, v – parametrni hisoblaymiz:

1,0 = 4,18 v

v = 0,239

Ushbu hisoblangan natijani oldin hisoblangan tenglamaning birontasiga quyish orqali a- parametrni hisoblaymiz:

22,5 = a + 64,70 v
22,5 = a + 64,70 v  (0,239)
22,5 = a + 15,46
a = 22,5 – 15,46
a = 7,04
Yuqorida hisoblangan a va v parametrlarning natijalarini to’g’ri chiziqli bog’lanishli regressiya tenglamasiga qo’yib chiqamiz:

Bu olingan tenglik to’g’ri chiziqli bog’lanishli regressiya tenglamasi deb ataladi.

Bu yerda v – parametr regressiya tenglamasining koeffisiyenti bo’lib, bunda yerning sifati 1-ballga ko’tarilganda bir xil bo’lgan sharoitda o’rtacha hosildorlik 0,239 s/ga oshishini ko’rish mumkin.
Endi ushbu hisoblangan tenglama orqali har bir qator uchun paxta hosildorligining yerning sifatiga bog’liqligining o’rtacha ahamiyatli nazariy hosildorligini aniqlaymiz:

1. 
   qator uchun _________________7,04+0,23945=17,79
   
2. 
   qator uchun _________________7,04+0,23972=24,25
   
3. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×50=18,99
   
4. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×48=18,51
   
5. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×52=19,47
   
6. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×60=21,38
   
7. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×90=28,55
   
8. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×65=22,57
   
9. 
   qator uchun _________________7,04+0,239×70=23,77
   
10. 
    qator uchun _________________7,04+0,239×95=29,74