ko’rinishdagi funksionallarni o’rganamiz, bu yerda funksiyalar
chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi talab etiladi.
(1) funksionalda faqat bitta
funksiyani variatsiyalaymiz. U holda funksional faqat bitta variatsialanayotgan funksiyagagina bog’liq bo’ladi:
Avvalgi darslardan ma’lumki funksionalning ekstremali
Eyler tenglamasini qanoatlantirishi zarur. Yuqoridagi mulohazani ihtiyoriy funksiyaga tadbiq etadigan bo’lsak, u holda quyidagi ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(3) sistemaning umumiy yechimi 2n ta o’zgarmas parametrga bog’liq bo’lib, ularning qiymati (2) chegaraviy shartlardan aniqlanadi.
Hususan ikkita va funksiyaga bog’liq
funksionalni qarasak, (3) sistema
ko’rinishni oladi.
1-misol. Funkksionalning ekstremallarini toping
Eyler tenglamalari sistemasini tuzamiz:
Bu sistemada noma’lum funksiyalardan bittasini, masalan ni yo’qotsak differensial tenglama hosil bo’ladi. Bu chziqli o’zgarmas koeffisientli tenglamani integrallasak:
Bundan
Chegraviy shartlardan foydalanib
qiymatlarni aniqlaymiz. Demak izlanayotgan ekstremal
2-misol. Funkksionalning ekstremallarini toping
Eyler tenglamalari sistemasini tuzamiz:
Sistemada deb hisoblasak va tenglamalar, ulardan fazodagi to’g’ri chiziqlar hosil bo'ladi.
7-mavzu. Eyler-Puasson tenglamasi
Ushbu
funksionalni o’rganamiz, bu yerda funksional barcha argumentlari bo’yicha marta differensiallanuvchi funksiya. Argumenga qo’yiladigan funksiyalar
chegaravi shartlarni qanoatlantirishi talab etiladi.
Faraz qilaylik (1) funksional marta differensiallanuvchi egri chiziq ustida ekstremalga erishsin. Bu funksiyaga yaqin va marta differensiallanuvchi funksiyani olamiz. Har ikkala funksiya ham (2) chegaraviy shartarni qanoatlantiradi. belgilash kiritamiz. Bir parametrli
eri chiziqlar oilasini tuzamiz. Bu chiziqlar oilasida, agar bo’lsa , agar bo’lsa funksiya hosil bo’ladi. egri chiziqlar oilasining har bir chizig’i (2) shartlarni qanoatlantiradi.
Agar funksionalni faqat chizqlar ustida qarasak, u holda funksional ga bog’liq funksiyaga aylanadi: . Bu funksiya nuqtada hosilasi mavjud va ekstremumga erishadi. Bundan tenglikka egqa bo’lamiz. Biz dastlabki darslarimizda bu hosilani funksionalning variatsiasiga tengligini ta’kidlaganmiz va orqali belgilaganmiz. Boshqa tomondan
Integral ostidagi ikkinchi qo’shiluvchiga bo’laklab integrallash qoidasini qo’llab , tengliklarni hisobga olamiz:
Integral ostidagi uchinchi qo’shiluvchiga bo’laklab integrallash qoidasini qo’llab , tengliklarni hisobga olamiz:
Ohirgi integralga yana bo’laklab integrallash qoidasini qo’llaymiz va , tengliklarni hisobga olamiz:
Shu tarzda davom etib, ohirgi qo’shiluvchiga bo’laklab integrallash qoidasini marta qo’llab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
Yuqoridagi hisoblashlardan keyin (3) tenglik quyidagi ko’rinishga keldi:
Ohirgi integral ostida birinchi ko’paytuvchi uzluksiz funksiyadir. ga keladigan bo’lsak, bu yerda funksiya ga yaqin bo’lgan ihtiyoriy funksiya bo’lganligidan funksiyaning ihtiyoriy o’zgaraotganligi kelib chiqadi. Aniqroq aytganda funksiya – marta differensiallanuvchi, va nuqtalarda o’zi va tartibligagacha hosilalari 0 ga teng bo’lgan ihtiyoriy funksiya. Variatsion hisobning asosiy lemmasiga ko’ra funksiya uchun
ayniyat o’rinli.
Shunday qilib (1) funksional egri chiziq ustida ekstremumga erishishi uchun, funksiya
tenglamani qanoatlantrishi zarur ekan. (4) tenglama -tartibli differensial tenglama bo’lib, Eyler-Puasson tenglamasi deyiladi. Uning integrallari qaralayotgan variatsion masalaning ekstremallari deyiladi. Eyler-Puasson tenglamasining umumiy yechimida ta o’zgarmas parameter qatnashadi va ularning qiymatlari (2) chegaraviy shartlar yordamida aniqlanadi.
1-misol. Funksionalning ekstremallarini toping
Eyler-Puasson tenglamasi yoki ko’rinishga ega. Uning umumiy yechimi: . Chegaraviy shartlardan foydalanib
qiymatlarni aniqlaymiz. Demak qaralayotgan funksional faqat to’g’ri chiziq ustida ekstremumga erishishi mumkin.
2-misol. Funksionalning ekstremallarini aniqlang
Eyler-Puasson tenglamasi ko’rinishga ega. Uning umumiy yechimi: . Chegaraviy shartlardan foydalanib
qiymatlarni aniqlaymiz. Demak qaralayotgan funksional faqat egri chiziq ustida ekstremumga erishishi mumkin.
3-misol. Funksionalning ekstremallarini aniqlang
Eyler-Puasson tenglamasi ko’rinishga ega. Uning umumiy yechimi: . Chegaraviy shartlardan foydalanib ekstremal chiziq funksiyadan iboratligini aniqlaymiz.
Endi
funksionalni qaraymiz. Bu funksional va funksiyalar ustida ekstremumga erishsin. Agar funksiyani fiksirlab, faqat funksiyani varatsiyalasak, u holda funksiya
Eyler-Puasson tenglamasini qanoatlantirshi zarur. Agar funksiyani fiksirlab, faqat funksiyani varatsiyalasak, u holda funksiya
tenglamani qanoatlantirshi zarur. Shunday qilib (5) funksional funksiyalar juftligi ustida ekstremumga erishsa, bu juftlik
sistemani qanoatlantirishi zarur.
Bir nechta funksiyaga bog’liq ushbu
funksionalni o’rganishda ham yuqoridagidek mulohazalar yuritib, uning ekstremallari
