6-mavzu: Chiziqsiz regressiya Reja

Bug‘doy hosildorligi va beriladigan o‘g‘it miqdori

Berilgan mineral o‘g‘it miqdori, ts/ga, x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	9	10	10	11	11	12
Hosildorlik, ts/ga, y	6	9	10	12	13	13	13	13	12	12	11	10	10	9	8

Jadval ma’lumotlaridan ko‘rinib turibdiki berilgan o‘g‘itning miqdori 5 s/ga bo‘lganda hosildorlik eng yuqori bo‘lar ekan. Shuning uchun beshta kuzatuv natijalarining tahlili yetarli. Regressiya tenglamasini tuzish uchun normal tenglamalar sistemasini yechib parametrlarni aniqlaymiz. Buning uchun quyidagi ishchi jadvalni tuzamiz:

6.2-jadval
Bug‘doy hosildorligi bilan o‘g‘it miqdori orasidagi bog‘lanishni hisoblash ishchi jadvali

Berilgan mineral o‘g‘it miqdori, s/ga, x	Hosildor-lik, s/ga, y
1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 4 5	6 9 10 12 13	1 4 9 16 25	1 8 27 64 125	1 16 81 256 625	6 18 30 48 65	6 36 90 192 325	6,2 8,5 10,4 11,9 13,0
	50	55	225	979	167	649	50

6.2-jadval ma’lumotlar bo‘yicha tuzilgan normal tenglamalar sistemasi quyidagicha:

Ushbu sistemani yechib ikkinchi tartibli parabolaning parametrlarini qiymatlarini topamiz va quyidagi regressiya tenglamasini hosil qilamiz:

x ning qiymatlarini ketma-ket tenglamaga qo‘yib, ning nazariy qiymatlarini topamiz (6.2-jalvalning 8-ustuni). Jadvaldan 2-tartibli parabola o‘rganilayotgan bog‘lanishni yaxshi tasvirlashi ko‘rinib turibdi. Hisoblangan qiymatlarni nazariy qiymatlardan og‘ishi kvadratlari yig‘indisi 0,46ga teng ( ).
Chiziqsiz funksiyalar sinfida parametrlarning qiymati hech qanday qiyinchiliksiz EKKU bilan aniqlanadigan funksiya sifatida, ekonometrikada ma’lum bo‘lgan, teng tomonli giperbola ni ko‘rish mumkin. Bunga klassik misol sifatida ishsizlik me’yori (x) va ish haqi(y)ning o‘sish foizi orasidagi munosabatini tavsiflovchi Fillips egri chizig‘i keltiriladi:
.
Ingliz iqtisodchisi A.V.Fillips 100 yildan ko‘proq davrdagi ma’lumotlarni tahlil qilib XX asrning 50-yillari oxirida ish haqini o‘sib borishi darajasi, ishsizlik darajasiga nisbatan teskari bog‘langanligani aniqlagan.
ko‘rinishidagi teng tomonli giperbolada ni bilan almashtirib chiziqli regressiya tenglamasini olamiz. Uning parametrlarini EKKU bilan aniqlash mumkin .
Ushbu funksiya uchun normal tenglamalar sistemasi quydagidan iborat:

bo‘lganda teskari bog‘lanish bo‘lib, bo‘lganda parametr bilan baholanadigan o‘zinig eng kichik qiymatiga erishadi.

funksiyasi bilan ifodalanuvchi Fillips egri chizig‘ida parametrning qiymati 0,00679ga teng, bu ishsizlik darajasining o‘sishi bilan ish haqining qo‘shimcha o‘sish sur’ati nolga intilishini ko‘rsatadi.
bo‘lib cheksizga intilganda ( ∞) yuqori asimptotaga ega bo‘lgan sekin o‘suvchi, ya’ni tenglamada parametr baho beradigan y ning maksimum qiymatini beruvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.
Misol sifatida umumiy xarajatlar (yoki daromadlar) bilan uzoq muddatli tovarlarga xarajatlar ulushi orasidagi bog‘lanishni ko‘rish mumkin. Bunday bog‘lanishning matematik yozuvi Engel egri chizig‘i deb nom olgan. 1857 yilda nemis statistik olimi E. Engel oila xarajatlarini o‘rganish asosida daromadni ortishi bilan daromadning oziq-ovqatlarga sarf qilinadigan ulushi kamayib borish qonuniyatini aniqlagan. Mos ravishda daromadning ortib borishi bilan daromadning nooziq-ovqat mahsulotlariga sarf qilinadigan ulushi ortib boradi. Lekin bu o‘sish chegarasiz bo‘lmaydi, ya’ni birdan katta yoki 100%dan ko‘p bo‘lmaydi. Ayrim tovarlar uchun bu chegara tenglamning parametri bilan tavsiflanadi. Ushbu tenglamada:
-nooziq-ovqat tovarlariga xarajatlar ulushi;
-daromad.
Teng tomonli giperbolada va parametrlar quyidagicha hisoblanadi:

Engel egri chizig‘ining modelini yozish uchun ko‘rinishdagi yarim logarifmik funksiyalar ham qo‘llaniladi (1943 y. Uorking va 1964 y. Lizer).
ni z bilan almashtirsak yana ko‘rinishidagi chiziqli tenglamani olamiz. Ushbu funksiya avvalgi funksiya kabi parametrlar bo‘yicha chiziqli, asosiy o‘zgaruvchi bo‘yicha esa chiziqli emas. va parametrlarni EKKU yordamida aniqlash mumkin. Bunda normal tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi:

Yarim logarifmik funksiyani oilaning daromadidagi umumiy xarajatlar bilan uzoq muddatli foydalaniladigan tovarlarga xarajatlar ulushi orasidagi bog‘lanishni quyidagi jadval ma’lumotlari asosida ifodalashga qo‘llab ko‘ramiz.
6.3jadval