2. Блэк-Шоулз моделида опционлар нархларнинг шаклланиши ва ҳисоблаш формуласи.
Опцион қуйидаги функцияларнинг кетма-кетлиги сифатида қаралади:
Базавий активнинг қиймати ва страйк нархи (амалга ошириш қиймати). Опцион қийматига таъсир этувчи муҳим омил бўлиб активнинг опциони ҳамда страйк қиймати ўртасидаги нисбат ҳисобланади. Бу нисбат опционнинг даражасини (“пулда” ёки “пулсиз”) ҳамда опционннинг ички қиймати (базавий активнинг колл ва пут опционларнинг страйк қийматидан катта ёки кичиклигини) аниқлайди. Опционнинг амалга ошишига қолган муддат. Вақт опционларни сотиб олувчига қарши ишлайди яъни пулсиз опционларнинг нархи унинг амалга ошиш вақти яқинлашган сари тушаверади. Бу эффект «вақт томонидан бузилиши» деб аталади (time decay). Опционнинг амалга ошишига узоқ муддатнинг борлиги катта миқдордаги ноаниқликдан далолат беради.
Тебранишлар даражаси. Бу кўрсаткич базавий активнинг нархларнинг тебранишларига таъсирчанлигини кўрсатади. Пулдаги опционларнинг мукофоти базавий активнинг нархдаги ноаниқликларига тўғри пропорционал ҳисобланади.
Дивидендлар. Дивидендларининг оширилиши коллопционнинг нархини тушиши ва пут опционнинг нархининг кўрарилишига олиб келади, сабаби дивидентлар тўлови опцион асосида турган акцияларнинг нархини дивидент миқдирида камайтиради. Дивидендлар акцияларни сотиб олиш ва сақлашни нақд маблағларни коллопцио билан сотиб олиш ва сақлаб туришдан кўра жозибадорлигини оширади. Аксинча қисқа муддатда сотувчилар дивидентлар тўловини назарда лозим шу сабабали акцияларни қисқа муддатда сотишдан кўра пут опционларни сотиб олиш мақсадга мувофиқ бўлади.
Фоиз ставкалар даражаси. Ўсувчи фоиз ставкалари базавий акцияларнинг форвард нархини оширади яъни опцион даврида акция нархи ва таваккалчилик сиз активлар ставкаси йиғиндиси. Моделда форвард нархи деганда опционнинг муддати тугаганда акциянинг нархи тушунилади.
Опционларнинг харидорлар учун жозибадорлигини қуйидагича изоҳлаш мумкин, харидорга мумкин бўлган зарарннинг миқдори маълум бўлади-бу эса опцион учун тўланадиган мукофот ҳажми ҳисобланади, бу ҳолда назарий жиҳатдан максимал даромад чегараси чегараланмаган бўлади, опцион муддати давомида базавий акциянинг нархи ошса харидор катта миқдордаги давромадга эга бўлиши мумкин. Асосан нархлари кескин ўзгариб турувчи акцияларга бўлган опционларга қизиқиш юқори масалан компютерлар учун дастурий таъминотлар ишлаб чиқарадиган компаниялар акциялари. Кўпгина миллионерлар ўзларининг маблағларини ўзларининг ёш ва мунтазам ўсиб борувчи компанияларнинг акцияларидаги опционлар мукофотларидан ишлаб топганлар.
Формуланинг келиб чиқиш тарихига қайтамиз. Опцион савдо эндигина ривожланаётган бир даврда (опционларнинг Чикаго биржаси 1973 йил апрелда Блэк-Шоулз ишларини эълон қилинишидан 1 ой олдин очилган эди) опционнинг ҳақиқий баҳосини математик методлар ёрдамида аниқлаш сеҳргарлик ҳисобланарди. Аввал бошида таклиф этилган моделнинг самарадорлиги ва натижасига ҳатто энг малакали трейдерларда ҳам шубҳа уйғотган. Лекин мураккаб математика, одатий бўлмаган метод ва стохастик дифференциал тенглама секин қўлланила олиш мумкинлигини кўрсатди.
Блэк-Шоулз формуласи нафақат ишлай бошлади балки у бутун бозорларнинг трансформациясига олиб келди. 1973 йилда Чикаго опционлар биржасинингочилганкунида 1000данкамопционларамалгаоширилган бўлса, 1995 йилга келиб опционларнинг кунлик миқдори миллион донадан ҳам ортиб кетди. Блэк-Шоулз моделининг бозор ривожланишидаги роли шунчалик муҳим бўлдики 1978 йилда биржада ўғирлик содир бўлди ва бунда машхур Forbes журнали айнан формулани айбдор деб кўрсатди. Шоулз эса мазкур айбномага жавобан формулани айбдор деб тан олиш керак эмаслиги балки ундан фойдаланувчиларнинг билим даражасини камлигида деб кўрсатма берди.
Формуланинг яратилиши Фишер Блэк томонидан варрантлар учун баҳолаш моделини яратишга киришишдан бошланди. У ҳосилани варрантнинг дискон қиймати миқдорини нархни маълум муддатда ўзгаришига қараб аниқлашда фойдаланишга қарор қилди. Ишлаб чиқилган формула яхши таниқли бўлган иссиқлик алмашиш формуласини эслатиб юборарди. Мазкур янгиликдан кейин Блэкка Майрон Шоулз қўшилди ҳамда уларнинг ҳамкорликдаги ишининг натижасида опционларнинг нархларини шаклланиш модели яратилди. Амалда уларнинг модели Джеймс Бонеснинг докторлик диссертациясида кўрсатилган формуласининг яхшиланган варианти ҳисобланарди. Блэк ва Шоулз томонидан киритилган ўзгартишлар таваккалчилик сиз активлар процент ставкаси аниқ дисконт кўпайтувчиси бўлиши ва улар инвесторларнинг йўл қўйиши мумкин бўлган эҳтимолларини ўзига оладиган таваккалчилик тушунчасига ўзгартиришга хизмат қилди.
Формулада тўртта ўзгарувчи иштирок этади:(1)опционнинг амал қилиш муддати, (2) нарх, (3) фоиз ставкалари даражаси, (4) опцион учун тўланадиган мукофот ёки бозор тебранишлари даражаси.
C – колл опцион учун назарий мукофот даражаси; S – базавий акцияларнинг жорий нархи;
t - вақт, опционнинг амалга ошириш муддатининг йилдаги ифодаси (қолган кунлар сони/365 кун);
К – опционни амалга ошириш нархи (страйк нарх);
r – таваккалчилик сиз активлар бўйича фоиз ставкаси;
N(x) – стандарт куммулятив тақсимот;
е - экспонент (2,7183)
s – базавий акцияларнинг нархининг йиллик стандарт четланиши (тарихий волатиллик). Нархнинг стандарт четланишини қолган кунлар сонини 260 (йил давомида савдо амалга ошириладиган кунлар сони) дан айирган ҳолад кўпайтмасини квадрат илдизи орқали ҳисобланади ln - натурал логарифм.
Моделнинг моҳиятини тушуниш учун уни икки қисмга бўламиз. Биринчи қисм, SN(d1), энг базавий акциялардан кутидиган даромадни ифодалайди. Уни ҳисоблаш базавий акциялари қийматини [S] коллопционлар мукофотини базавий активлар курсини [N(d1)] ўзгаришига кўпайтириш орқали ҳисобланади.
