6. ma’ruzalar matni mavzu: Differensial geometriya va topologiya fani predmeti

Mavzu: Evklid fazosidagi topologiya. Ochiq va yopiq to’plamlarning asosiy xossalari.

Haqiqiy sonlar to’plamini bilan belgilaymiz va uchun elementlari ta tartiblangan haqiqiy sonlar ketma-ketligidan iborat

to’plamda va nuqtalar orasidagi masofani

formula bilan aniqlaymiz. Bu kiritilgan funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.

1. 
   musbat aniqlangan: ixtiyoriy juftlik uchun bo’lib, bo’lishi uchun munosabatning bajarilishi zarur va yetarlidir.
   
2. 
   simmetrik funksiyadir: ixtiyoriy juftlik uchun munosabatlar o’rinli.
   
3. 
   uchburchak tengsizligini qanoatlantiradi: ixtiyoriy uchta nuqta uchun tengsizlik bajariladi.
   

Yuqorida funksiyaning 1, 2-shartlarni qanoatlantirishi rav­shan. Bu shartlarning uchinchisi sizga matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan
(1.1)
tengsizlikdan kelib chiqadi.

Quyida Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi

(1.2)
tengsizlikni isbotlab, undan yuqoridagi (1.1) tengsizlikni keltirib chiqaramiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi vektor ko’rinishda yozish mumkin. Bu tengsizlikda -ifoda , vektorlarning skalyar ko’paytmasi bo’lib, , belgilashlar qabul qilingan. Skalyar ko’paytmadan iborat bo’lgan va haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan funksiyani qaraylik. Bu funksiyaning aniqlanishiga ko’ra munosabat o’rinlidir. Bu tengsizlikni ko’rinishda yozsak, u kvadrat tengsizlikka aylanadi. Uning diskriminanti uchun



tengsizlikni yoza olamiz. Endi Koshi-Bunyokovskiy tengsizligidan foydalanib,



tengsizlikni hosil qilamiz.Bu tengsizlikdan yuqoridagi (1.1) tengsizligi kelib chiqadi.
Endi (1.1) tengsizlikdan foydalanib, funksiya uchun uchburchak tengsizligini isbotlaylik.Buning uchun , , nuqtalar uchun belgilashlar kiritsak, (1.1) tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Kiritilgan funksiya bilan birgalikda metrik fazo bo’ladi.

Evklid fazoda berilgan nuqta va soni uchun

to’plam markazi nuqtada va radiusi ga teng ochiq shar deb,

to’plam esa markazi nuqtada bo’lgan va radiusi ga teng yopiq shar deb ataladi.
Sonlar o’qida, ya’ni da ochiq shar ochiq interval, yopiq shar esa yopiq kesma bo’ladi.
Endi ochiq shar yordamida fazoda ochiq to’plam tushunchasini kiritamiz. Berilgan to’plam va unga tegishli nuqta uchun birorta soni mavjud bo’lib munosabat o’rinli bo’lsa, nuqta to’plamning ichki nuqtasi deyiladi. Hamma nuqtalari ichki nuqtalar bo’lgan to’plam ochiq to’plam deb ataladi.
Demak, har qanday ochiq shar ochiq to’plam bo’ladi, chunki bo’lsa, soni uchun bo’ladi. Haqiqatan bo’lsa, tengsizlikdan munosabat kelib chiqadi. Demak muno-sabat o’rinlidir. Endi biz bo’sh to’plamni bilan belgilab, uni ixtiyoriy to’plam uchun qism to’plam hisoblaymiz, va uni fazoning ochiq qism to’plami deb qabul qilamiz. Ana shunda ochiq qism to’plamlar uchun quyidagi teoremani isbotlay olamiz.