6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

Tekislikni uning tenglamasiga ko’ra yasash.

Tekislikning ma‘lum tenglamasiga ko’ra uni yasash qiyin emas. Buning uchun tekislikning bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta ixtiyoriy nuqtasini bilish kifoya. Tekislikning nuqtasini uning Ах+Ву+Сz+D=0 tenglamasidagi koordinatalardan ixtiyoriy ikkitasiga ma‘lum qiymatlar tayinlab uchinchi koordinatani shu tenglamadan aniqlash orqali topiladi.
Agar tekislik koordinata o’qlariga parallel bo’lmasa tekislikni koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini topgan ma‘qul.
2-misol. 3х+6у+2z-12=0 tekislik yasalsin.
Yechish. Tekislikni koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. 0х o’qning nuqtalari uchun у=0, z=0 bo’ladi. Bularni berilgan tenglamaga qo’ysak 3х-12=0, х=4 bo’ladi. Demak tekislik 0х o’q bilan А(4;0;0) nuqtasida kesishar ekan (58 – chizma).

58 – chizma

Tenglamaga х=0, у=0 qiymatlarni qo’ysak 2z-12=0, z=6 kelib chiqadi. Demak tekislik 0z o’q bilan С(0;0;6) nuqtada kesishar ekan. Agar tenglamaga
х=0,z=0 qiymatlarni qo’ysak 6у-12=0, у=2 kelib chiqadi. Demak tekislik 0у o’q bilan В(0;2;0) nuqtada kesishar ekan. Shunday qilib berilgan tekislik А(4;0;0), В(0;2;0) va С(0;0;6) nuqtalardan o’tar ekan (58 - chizma).
Agar tekislik biror nuqtadan o’tsa bu nuqtaning koordinatalari o’sha tekislik tenglamasini qanoatlantiradi. Tekislik tenglamasi (a) ga A₁ va B₁ nuqtalarning koordinatalarini qo’yib
^{2А  3В  D  0,}


^ A  2B  D  0
sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemani uch noma‘lumli ikkita bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechimini topish formulasidan foydalanib yechamiz.

_{А } 3 1
 k; В 
^{1 2}  k; D 
^{2 3}  k; А  k; В  3k,
D  7к .

2 1 1 1 1 2
А, В va С ning topilgan qiymatlarini (a) ga qo’ysak kх-3kу+7k=0 yoki k ga qisqartirilsa х-3у+7=0 tekislik tenglamasi kelib chiqadi. Tekislik 0xy tekisligini x-3y+7=0 to’g’ri chiziq bo’ylab kesib o’tadi. (59-chizma).


59-chizma
Shuning uchun tekislikni chizishdan oldin to’g’ri chiziqni chizamiz.

Tenglamaga х=0 qiymatni qo’ysak –3у+7=0,
у  ⁷
3
va у=0 qiymatni qo’ysak

х=-7 kelib chiqadi. Demak to’g’ri chiziq 0xy tekislikning ^ 0; ^{7 }
ва (-7;0)

 
 ³ 
nuqtalaridan o’tar ekan.