6-amaliy mashg’ulot laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi



Download 392,04 Kb.
Pdf ko'rish
bet2/2
Sana31.12.2021
Hajmi392,04 Kb.
#236333
1   2
Bog'liq
6-AMALIY MASHG’ULOT

Original va tasvir 

Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  

     funksiya original deb 

ataladi;  (1)  foormula  bilan  aniqlanuvchi 

      funksiya  esa        funksiyaning 

tasviri deb ataladi 

Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni 

           ,                 yoki   [    ]        

ko’rinishda belgilaymiz. 

Operatsion  hisob  va  uning  tadbiqlari  uchun  muhim  bo’lgan  ba’zi 

funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz. 



1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping. 

► a) Birlik funksiya va uning tasviri. 

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz: 

       {


          

            




 

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz    



                        

        


 

 

 



   

      


 

   


 

|

 



 

 

 



 

 

 

Bu tenglik 

        shart bajarilganda o’rinli. Demak 

      

 

 



 

Agar 


     funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u 

holda  


                     {

          

               

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi. 

b) 

        


  

                            . 

        

 

 



 

   


 

  

      



 

 

 



       

   


Bu integral 

               demak           da yaqinlashuvchi va  

      

 

     



 

ya’ni 


 

  

 



 

     


  

c) 


               bu yerda   ixtiyoriy haqiqiy son. 

Ma’lumki, 

        

 

 



   


   

    


]  

Shuning uchun ta’rif bo’yicha 

        

 

 



 

   


           

 

 



 

 

 



 

   


 

   


    

 

 



 

 

 



 

   


 

    


  

 

 



 

 

 



 

 

        



    

 

 



 

 

 



 

        


    

 

         



 

 

         



 

 

 



 

   


 

  

Shunday qilib  



        

 

 



 

   


 

   bu yerda          

c)  Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak 

        


 

 

 



   

 

 



munosabatni hosil qilamiz (tekshiring). 

d) 


        

   


      ,     kompleks son. 

Ta’rifga ko’ra 




 

        



 

 

 



   

 

   



           

 

 



 

 

 



 

   


 

   


   


   

    


)     

 

 



 

 

 



 

 

          



    

 

 



 

 

 



 

          

    

 

             



 

 

             



  

 

     



       

 

   



 

                   

Shunday qilib 

 

   



        

     


       

 

   



 

  

e)  Xuddi shu singari 



 

   


        

 

       



 

   


 

 

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring); 



f) 

           ,     kompleks son  

      

 

  



   

   


 

 

Shuning uchun 

        

 

 



 

   


        

 

 



 

 

 



 

   


  

  

   



   

      


 

 

 



 

 

 



 

       


    

 

 



 

 

 



 

       


    

 

        



 

 

        



 

 

 



 

   


 

  

bu yerda



 

      |   | 

Demak,  

           

 

   


 

   


g) 

           

 

   


 

         |   |  (mashq sifatida tekshiring).◄ 

Endi  har  qanday  original  uchun  tasvir  mos  kelishi  haqidagi  teoremaga 

o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli: 



Teorema.  Har  qanday 

      original  funksiya  uchun,         

 

  yarim 


tekislikda 

      tasvir  funksiya  mavjud  va  ushbu  yarim  tekislikda        analitik 

funksiyadan iborat, bu yerda 

 

 



  original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi. 

Natija. Agar 

     original bo’lsa, u holda     

     

         



Operatsion hisobning asosiy teoremalari. 

Bevosita  ta’rif  yordamida  tasvirni  topish  har  doim  ham  mumkin 

bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi 

mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir 

qancha sinfdagi  funksiyalarning  tasvirini  topish imkonini beradi. Bundan tashqari 

ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi. 



Teorema.  (Originalning  yagonaligi)  Agar 

 

 



     va   

 

     funksiyalarning 



tasvirlari  o’zaro  teng  bo’lsa,  bu  funksiyalar  uzluksiz  bo’ladigan  barcha 

      


nuqtalarda ustma ust tushadi. 

Laplas almashtirishi quyidagi xossalarga ega.  

Agar 

            va             bo’lsa, u holda 



1. Chiziqlilik-ixtiyoriy 

  va   kompleks sonlari uchun  




 

                             . 



2-Misol

                 

  

   


 

 

   



 

 

 



  

   


 

   


 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

   


  

2. O’xshashlik-ixtiyoriy 

      uchun  

       

 

 



  (

 

 



)  

3-Misol

 

 



             bo’lganligi  uchun   

   


 

 

  



 

 

 



 

 

  



 

 

   



 

bo’ladi. 



3. Siljish-ixtiyoriy o’zgarmas

   son uchun  

  

                bo’ladi. 



4-Misol

 

 



     

 

 



 

 

 



 

  bo’lganligi  uchun 

 

  

  



 

      


 

     


 

 

 



   

 

bo’ladi. 



4.  Originalni  differensiallash-

       


 

                 

   

     bu       



originalning hosilalari bo’lsa, u holda  

 

 



                    

         

 

                      



 

   


       

 

        



   

             

     

       


     

    


Agar 

 

   



                    

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, so’ngi formula soddalashib  

 

   


       

 

     



ko’rinishga keladi. Xususan 

 

 



             

5-Misol. 

  

  



           

  

       funksiyaning tasvirini toping. 



►  Ma’lumki, 

 

  



                   

 

   



 

 .  Agar  bu  yerda  originalni 

differensiallash teoremasini qo’llasak 

  

  



       

 

   



 

       


 

   


 

   


   

      |


   

 

yoki  



  

  

           



  

                    

 

   


 

 . ◄ 



5. Tasvirni differensiallash-  

   


 

 

   



       

 

      



6-Misol. 

 

   



 

 

   



       bo’lganligi uchun 

     


   

    


 

        (

 

     


)

 

 



 

       


 

  

 



 

   


   

      


 

 

  



      (

 

     



)

  

 



 

       


 

  

6. Originalni integrallash- 

 

 

 



                 

7-Misol

 

 



 

 

 



 

   


   integralning tasvirini toping. 

►Tasvirni quyidagi ketma-ketlikda topamiz: 

a) funksiyaning tasviri 

 

   



           . 

b) tasvirni differensiallash xossasiga ko’ra 

 

 

   



   

      


 

 

  



      (

 

     



)

  

 



 

       


 

  



 

c) Originalni integrallash xossasiga ko’ra hosil qilingan ifodani 



  ifodaga 

bo’lsak, integralning tasvirini topgan bo’lamiz: 

 

 

 



 

 

 



   

    


 

        


 

  

7. Tasvirni integrallash- Agar  

       original bo’lsa, u holda 

    


 

   


 

 

       



8-Misol.  

                 funksiyaning tasvirini toping. 

►Ma’lumki 

        


 

 

 



  

      .  U  holda tasvirni  integrallash  xossasiga 

ko’ra 

      


 

   


 

 

 



 

 

   



          

 

 



|

 

   



 

 

       



 

 

        



 

 

  



munosabatga ega bo’lamiz.◄ 

8.  Originalning  kechikish  xossasi-ixtiyoriy 

       uchun            

 

   


      

9-Misol. 

       


 

 

 



  

  bo’ganligi  uchun 

                       

   


 

 

 



 

  

 bo’ladi. 



 

  va   funksiyalarning       ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi deb 

              

 

 



                  

tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi. 



10-Misol.       

         ,           

 

 funksiyalarning o’ramasini toping. 



► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz 

     


 

   


 

 

  



   

     |                        

   

  

                           



   

|      


   

 



   

 

 



 

   


    

        


   

 



            

 

 



Demak, 

     


 

   


 

         ◄ 

9.  Tasvirlar  ko’paytmasi-

       funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar 

ko’paytmasiga teng: 

 

               



 

 

                              



11-Misol. 

        


 

 

 



 

 

 va 



            

 

 



 

  

 bo’lganligi uchun 



 

 

 



 

 

             



 

 

 



 

 

 



 

   


 

bo’ladi. 

Endi  Laplas  almashtirishining  bu  bo’limda  o’rganilgan  xossalari,  ular 

yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus 

funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz. 

 

 




 

Original- tasvirlar jadvali 

Original 

Tasvir 


1. 

  

    



2. 

       


    

 

   



 

  

3. 



       

    


 

   


 

  

4. 



     

    


 

   


 

  

5. 



     

    


 

   


 

  

6. 



 

  

 



          

7. 


 

   


       

  [       

 

   


 

8. 



 

   


       

        [       

 

   


 

9. 



 

  

            



                       

       


 

   


 

 

10. 



 

  

            



                       

       


 

   


 

 

11. 



  

   


 

 

12. 



 

 

 



    

   


 

13. 


 

 

 



  

 

          



   

 

14. 



         

      


 

   


 

 

 



 

15. 


         

  

 



   

 

    



 

   


 

 

 



 

16. 


      

      


 

   


 

 

 



 

17. 


      

  

 



   

 

    



 

   


 

 

 



 

18. 


          ,            

 

   



   

 

     



19. 

                       

  

   


   

 

     



20. 

        


 

 

 



       

21. 


    

 

 



 

 

 



       

22. 


       

 

  



 

   


 

     


23. 

 

   



                 

     


        

 

 



     

24. 


      

            



 

Misollar. 

 

Quyidagi funksiyalarning Laplas tasvirlarini toping. 

1. 

                      ; 



2. 

                      ; 

3. 

        


    

4. 



        

   


      ; 

5. 


                             ; 

6. 


        

 

      ; 



7. 

         

  

   


  

     


 

 

 



 

 

 



Download 392,04 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish