Original va tasvir
Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
funksiya original deb
ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi
funksiya esa funksiyaning
tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
, yoki [ ]
ko’rinishda belgilaymiz.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi
funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.
► a) Birlik funksiya va uning tasviri.
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:
{
2
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz
|
Bu tenglik
shart bajarilganda o’rinli. Demak
Agar
funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u
holda
{
funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi.
b)
.
Bu integral
demak da yaqinlashuvchi va
ya’ni
c)
bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son.
Ma’lumki,
[
]
Shuning uchun ta’rif bo’yicha
Shunday qilib
bu yerda
c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak
munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).
d)
, kompleks son.
Ta’rifga ko’ra
3
(
)
Shunday qilib
e) Xuddi shu singari
munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring);
f)
, kompleks son
Shuning uchun
bu yerda
| |
Demak,
g)
| | (mashq sifatida tekshiring).◄
Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga
o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:
Teorema. Har qanday
original funksiya uchun,
yarim
tekislikda
tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda analitik
funksiyadan iborat, bu yerda
original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.
Natija. Agar
original bo’lsa, u holda
Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin
bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi
mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir
qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari
ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.
Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar
va
funksiyalarning
tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha
nuqtalarda ustma ust tushadi.
Laplas almashtirishi quyidagi xossalarga ega.
Agar
va bo’lsa, u holda
1. Chiziqlilik-ixtiyoriy
va kompleks sonlari uchun
4
.
2-Misol.
2. O’xshashlik-ixtiyoriy
uchun
(
)
3-Misol.
bo’lganligi uchun
bo’ladi.
3. Siljish-ixtiyoriy o’zgarmas
son uchun
bo’ladi.
4-Misol.
bo’lganligi uchun
bo’ladi.
4. Originalni differensiallash-
bu
originalning hosilalari bo’lsa, u holda
Agar
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, so’ngi formula soddalashib
ko’rinishga keladi. Xususan
5-Misol.
funksiyaning tasvirini toping.
► Ma’lumki,
. Agar bu yerda originalni
differensiallash teoremasini qo’llasak
|
yoki
. ◄
5. Tasvirni differensiallash-
6-Misol.
bo’lganligi uchun
(
)
(
)
6. Originalni integrallash-
7-Misol.
integralning tasvirini toping.
►Tasvirni quyidagi ketma-ketlikda topamiz:
a) funksiyaning tasviri
.
b) tasvirni differensiallash xossasiga ko’ra
(
)
5
c) Originalni integrallash xossasiga ko’ra hosil qilingan ifodani
ifodaga
bo’lsak, integralning tasvirini topgan bo’lamiz:
7. Tasvirni integrallash- Agar
original bo’lsa, u holda
8-Misol.
funksiyaning tasvirini toping.
►Ma’lumki
. U holda tasvirni integrallash xossasiga
ko’ra
|
munosabatga ega bo’lamiz.◄
8. Originalning kechikish xossasi-ixtiyoriy
uchun
9-Misol.
bo’ganligi uchun
bo’ladi.
va funksiyalarning ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi deb
tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi.
10-Misol.
,
funksiyalarning o’ramasini toping.
► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz
|
|
|
|
Demak,
◄
9. Tasvirlar ko’paytmasi-
funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar
ko’paytmasiga teng:
11-Misol.
va
bo’lganligi uchun
bo’ladi.
Endi Laplas almashtirishining bu bo’limda o’rganilgan xossalari, ular
yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus
funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz.
6
Original- tasvirlar jadvali
Original
Tasvir
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
[
]
8.
[
]
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
,
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Misollar.
Quyidagi funksiyalarning Laplas tasvirlarini toping.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
Do'stlaringiz bilan baham: |