6-§. O’rta asr O’rta Osiyolik allomalar hayoti va ijodidan namunalar

n q a.вс... ni hisoblashda
, n q a ) ,
10
( n в
q a ) ,...
10 100
( n, в с
q a ayirmalar ketma-ketligini hisooblashga keltiradi.
Bunda u quyidagi binominial yoyilmani ko’radi va
( 1) ... 1, 1 1 2 2 1a a C a C a C a n
n
n
n
n
n
n n
n n n
n
n
n
n
n
n n a в a C a в С a в С aв в 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... ko’rinishda ifodalab,
1
1 1
m
n
m
n
m
n C C C qoida bo’yicha binominal koeffitsentlarni hosil qiladi.
Evropada bu usul Ruffini (1804) –o’orner (1819) nomi bilan ma’lum bo’lib, binomial
koeffitsentlar tablitsasini n 17 uchun 1544 yili Shtifelь hisoblagan.
Taqribiy ildiz chiqarish ,
2 1
2
T
r
q T r T (T- butun qismi) formulasi
qadimdan ma’lum bo’lib, Koshiy ildizning istalgan natural ko’rsatkichli uchun formulani
topadi. Bu usul asosida chiziqli interpolyatsiya usuli yotadi:
1. Ma’lum vatar bilan yoy yi¼indisi vatarini va uning yarmini yarim doiraga
to’`ldiruvchi yoyning vatarini aniqlash to’`¼risida.
2. Doilrga ichki chizilgan ixtiyoriy ko’`pburchaknmng perimetrini va unga
o’`xshash, ammo doiraga tashqi chizilgan ko’`pburchakning perimetrini aniqlash qaqida.
3. Aylanani necha qismga ajratish va qaysi oltmishli xonagacha amal bajarish
lozimki, qosil bo’`lgan perimetr berilgan doira aylanasidan deyarli ortiq bo’`lmasin.
4. Amallar qaqida.
Bu asarlarda Koshiy o’zidan oldin o’tgan olimlarning ishlarini takrorlabgina
qolmasdan, ularni takomillashtiradi, yangiliklar va hisoblashlarga yangi usullar
qo’shadi.
Bularni sanab o’taylik:
Birinchi o’nli kasrni kiritadi. Aylana uzunligining o’z diametriga nisbati sonini
verguldan so’ng =3,14159265358979932 hisoblaydi va o’nli kasrlarni boshqa
amallarga tatbiq etadi. (Aylanaga ichki va tashqi chizilgan muntazam 3.228- burchak
tomonini hisoblashga olib keladi). Oradan 150 yil o’tgandan so’ng 1593 yili F.Viet 9
ta o’nli raqamini 3.217-burchak yordamida, 1597 yili esa Van Roumen Koshiy natijasini
takrorlaydi.
1585-yili ingliz Simon Stevin Evropada o’nli kasrni kashf etadi. Koshiy hisoblashda
o’nli kasr oltmishli kasrdan sodda ekanligini uqtiradi va uni sistematik ravishda
to’liq bayon etadi.
Arifmetik amallarni bajarishni eng quyi honasidan boshlashni tavsiya etadi va uni
qulayliklarini ko’plab misollarda izohlab beradi. Bu hozirgi zamon usulining
o’zginasidir.
Sonlardan yuqori ko’rsatkichli ildiz chiqarish usulini va ko’rsatkichi 3 dan katta natural
sondan iborat bo’lgan binom formulasini istalgan natural son uchun umumlashtiradi
va sodda usulda ildizning taqribiy qiymatini o’nli kasr bilan hisoblaydi.
n q a.вс... ni hisoblashda
, n q a ) ,
10
( n в
q a ) ,...
10 100
( n, в с
q a ayirmalar ketma-ketligini hisooblashga keltiradi.
Bunda u quyidagi binominial yoyilmani ko’radi va
( 1) ... 1, 1 1 2 2 1a a C a C a C a n
n
n
n
n
n
n n
n n n
n
n
n
n
n
n n a в a C a в С a в С aв в 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... ko’rinishda ifodalab,
1
1 1
m
n
m
n
m
n C C C qoida bo’yicha binominal koeffitsentlarni hosil qiladi.
Evropada bu usul Ruffini (1804) –o’orner (1819) nomi bilan ma’lum bo’lib, binomial
koeffitsentlar tablitsasini n 17 uchun 1544 yili Shtifelь hisoblagan.
Taqribiy ildiz chiqarish ,
2 1
2
T
r
q T r T (T- butun qismi) formulasi
qadimdan ma’lum bo’lib, Koshiy ildizning istalgan natural ko’rsatkichli uchun formulani
topadi. Bu usul asosida chiziqli interpolyatsiya usuli yotadi:
( 1) 1, 1 1 2 2 1Cn a C a C a
n
a a n n n n n
www.ziyouz.com kutubxonasi
44
n y x agar x x r
x T y T
x T y T
n
n
1
2 2
1 1
( 1) ; 1
;
u holda .
( 1)
( ) 1
2 1
2 1
1 n n T T
r
x x T
x x
y y
y y
Bu usul Evropada XVI asr o’rtalarida paydo bo’ladi.
Algebrik masalalarni hal qilish uchun zarur bo’lgan sonlarning nisbati haqidagi bir
qancha qoidalarni va sonlar ketma-ketligining yig’indisini topish usullarini
ko’rsatadi.
а q 1 - istalgan son, ya’ni: n q q q ... q 2 3 bo’lganda
q 1
q q q
S
n
n yoki
, 1
1
q q
q
q q
S n
n
n uchun; agar q<1 bo’lsa,
q 1
q q q
S
n
n formula bilan hisoblaydi.
Jumladan birinchi formulani quyidagicha bayon etadi: biror asosning ketma-ket darajalarining
istalgan yig’indisi n q q ... q 2 ni topishni istasak, oxirigi daraja n q
asosga ko’paytirib ko’paytma q q n dan asosni ayiramiz, so’gnra ayirma q q q n ni
asosdan bitta kam son q 1 ga bo’lganda izlangan yig’indi hosil bo’ladi.
Yoki ;
2
1
3
2 1
1 2 3 ... 2 2 2 2 n
n n
n
;
2
1
1 2 3 ...
2
3 3 3 3 n
n
n
;
6
( 1)(2 1)
2
( 1)
1
2
( 1)
5
1
1 2 3 ... 4 4 4 4 n n n n n n n
n
;
3
( 1)( 2)
1 2 2 3 3 4 ... ( 1)
n n n
n n
4
( 1)( 2)( 3)
1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 1)( 2)
n n n n
n n n
Ќar 11 oraliqda sinuslar jadvalini tuzish, yana 9 ta o’nli raqami bilan, borasida sin 1o ni
hisoblash uchun
3
3cos
3
4cos3 сos formuladan foydalanib
x3+0,7850393433644006=45x tenglamaga keladi.
Umumiy holda tenglamani quyidagicha taqriban hal qilish usulini ko’ramiz.
,
3
3
P
x D
х D Px x x – kichik, demak x3 – yanada kichik u xolda
a
P
х D
х
3
- birinchi yaqinlashish.
x a y,
P
a y R
y
P
a y a
a y
3 3 ( ) ( )
R – a3 tartibli bo’lib,
a3 u ga nisbatan katta.
U/x
P
S
в
P
a R
y
3
- ikkinchi yaqinlashish.
y в deb 2-bosqich takrorlanadi va hokazo.
Natijada , 1 P
a
x a ,
3
2 P
a Q
x a в ,...,
( )3
3 P
а в Q
x a в с .
3
1
P
x Q
x n
n
3x2lik sistemada topadi.
Ulu¼bek akademiyasining yana bir yirik namoyandasi Aloviddin Ali ibn Muxammad
al - ªushchi. U 1402 yili Samarqandda tu¼ilgan. «ªushchi» uning taxallusi.
Adabiyotlarda ko’`rsatilishicha, uning taxallusi qaqida turli xil farazlar mavjud. Shunisi
aniqki, u juda qam ser¼ayrat bo’`lgan. O’zbeklar bunday kishilarni «Lochinga
o’`xshaydi» deb atashadi. U boshlan¼ich ma’lumotni Samarqandda oladi, so’`ng
o’`qishni davom ettirish uchun Kermonga ketadi. Sababi qali Samarqandda Jamshid
al- Koshiylar yo’`q edi. 1416 yilning oxirlarida Samarqandga qaytadi va Ulu¼bek akademiyasida
ishlay boshlaydi. O’zining ser¼ayratligi, bilimdonligi bilan atrofidagilar
orasida juda tez qurmat qozonadi.
ªozi Zoda va Jamshid al- Koshiylarning vafotidan so’`ng rasadxonadagi ilmiy ishlar
butunlay Ali ªushchi zimmasiga tushadi. 1438 yili Ulu¼bek ªushchini Xitoy saltanati
xuzuriga elchi qilib yuboradi. Xitoydan qaytib kelgach u o’`zining «Matematik va
astronomik jo’`¼rofiya» nomli asarini yozadi.
Ali ªushchining «Arifmetik risola» si, «Kasrlar qaqida risola» si va «Muqammadiya
risola» si matematikaning muqim masalalari – arifmetik amallar, ularni bajarish tartibi,
o’`nli kasrlar, ular ustida amallar, qozirda biz algebra darsliklariga kiritadigan
qisqa ko’`paytirish formulalari, musbat va manfiy sonlar tushunchalari va boshqalarga
ba¼ishlangan.
Ali ªushchining «Astranomiyaga doir risola» si bilan birga uning «Ulu¼bek zijiga
sharq» asarlari astranomiya tarixida katta aqamiyatga ega. Ali ªushchi «Ulu¼bek ziji
» ni geometriya teoremalari yordamida sharxlaydi va u bu asarga yozilgan sharxlar
orasida eng yaxshisi qisoblanadi.
Tekshirish savollari:
1. Ulug’bek akademiyasi bo’yicha nimalarni bilasiz ?
2. Koshiyning "Arifmetika kaliti" asari haqida nimalarni bilasiz ?
3. Samarqandda yana qanday allomalar ijod qilgan ?
8-§.O`rta asr va uyg`onish davrida Evropa matematikasi