5-mavzu. Boshqarish ob’ektlarini analiz qilish. Dinamik va statik xarakteristikalarini aniqlash

5-mavzu. Boshqarish ob’ektlarini analiz qilish. Dinamik va statik xarakteristikalarini aniqlash.
Reja:

1. 
   Differensial tenglamasi, uzatish funksiyasi, Laplas almatirishi, vakt xarakteristikasi, chastotaviy xarakteristikalari,
   
2. 
   o‘zicha muvozanatlashuvchanlik, kechikuvchanlik.
   

Rostlanuvchi ob’ektning chastotali xarakteristikasi deb, ob’ekt kirish kattaligining o‘zgarishi, uning turg‘unlashgan garmonik tebranish chastotasiga bog‘liligiga aytiladi. Chiziqli turg‘unlashgan ob’ekt kirishiga doimiy chastotaning garmonik tebranishlari ta’sir qilib tursa, o‘tish jarayonining tugashiga kadar ob’ektning rostlanuvi qiymati garmonik o‘zgarib boradi. Lekin chiqish kattaligining tebranish amplitudasi va fazasi kirish kattaligining tebranish chastotasi hamda ob’ektning dinamik xususiyatlariga bog‘liq.
Ob’ekt kirishiga beriladigan davriy g‘alayonlanish sinusoidal qonun bo‘yicha o‘zgaradi deb faraz qilaylik:

bu erda, - kirish ta’sirining tebranish amplitudasi, - tebranishlarning burchak chastotasi, 1/s.
O‘tish jarayoni tugagandan so‘ng, ob’ekt chiqishida majburiy tebranishlar o‘rnatiladi, ya’ni:

bu erda, - chiqish kattaligining tebranish amplitudasi; - faza bo‘yicha kechikish burchagi.
nisbat bilan faza bo‘yicha kechikish burchagi tebranish burchak chastotasi o‘zgarishi bilan o‘zgarib boradi. Kirish kattaligining tebranish chastotasi qancha ko‘p bo‘lsa rostlanuvchi kattalikning tebranish amplitudasi shuncha kichik bo‘ladi. Amplitudalar nisbati va faza bo‘yicha kechikish qiymatlari ob’ektning dinamik xususiyatlariga bog‘liq. Boshqacha qilib aytganda, bu parametrlar ob’ekt dinamikasini ifodalaydi.
Har bir ob’ekt uchun kesish chastotasi mavjud bo‘lib, bu chastotadan yuqorida ob’ekt «filtr»ga aylanib, yuqori chastotali tebranishlarni o‘tkazmaydi. SHuning uchun, chastotali xarakteristika rostlanuvchi ob’ekt tebranish xususiyatiga ega bo‘lgandagi chastota diapazonida eksperimental aniqlanadi. Chastotali xarakteristikalarni eksperimental aniqlash usuli yuqorida keltirilgan hollarga o‘xshash bo‘lib, unga faqat qo‘shimcha ravishda tebranishlar generatori ulanadi. Bu generator kirishning sinov ta’sirlariga sinusoidal xarakter beradi. Bu usul orqali rostlanuvchi ob’ektlarning dinamik xususiyatlari ishonchliroq aniqlanadi.
Laplas almashtirishi haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyani (shu jumladan vaqt funksiyasi) kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga o‘zgartiradi. Laplas almashtirishi differensial va integral tenglamalar o‘rniga algebraik tenglamalardan foydalanishga imkon beradi - differensiallash va integrallash operatsiyalari ko‘paytirish va bo‘lish operatsiyalari bilan almashtiriladi Bundan tashqari, differensial tenglamalarning operator shaklida yozilishi vaqt sohasidan chastota - sohasiga o‘tishni engillashtiradi. ARTni hisoblashda chastotali usul keng ishlatiladi.
Ma’lum vaqt funksiyasi uchun Laplas almashtirishi quyidagicha yoziladi:

bu erda, r - kompleks o‘zgaruvchi;
L-Laplas to‘g‘ri almashtirishi operatsiyasining simvoli. Almashinayotgan funksiya original deyiladi va u cheklanadi:
bu erda,
Laplas almashtirishi natijasida olingan funksiya tasvir deyiladi. SHunday qilib, original tasvirga mos bo‘ladi.
Ma’lum tasvir bo‘yicha originalni topish operatsiyasi Laplas teskari almashtirishi deyiladi.
,
bu erda, -Laplas teskari almashtirish operatsiyasining simvoli.
Differensial yoki integral tenglamalarini operatsion hisob yordamida echishdan maqsad algoritmi moddiy o‘zgaruvchili funksiyani kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga almashtirish, kompleks o‘zgaruvchili sohada echimlarni izlash, va nihoyat, teskari, ya’ni topilgan echimni kompleks o‘zgaruvchili sohadan moddii o‘zgaruvchili sohaga almashtirishdan iborat. Laplas almashtirishining asosiy xossalari quyida keltirilgan.
1. Laplas almashtirishi chiziqli operatsiyadir, shuning uchun, originallar yig‘indisi qo‘shiluvchilar sonidan qat’iy nazar ularning tasvirlar yig‘indisiga mos:

bu erda,

2. Chiziqlilik xossasiga ko‘ra doimiy kattalikka ko‘paytirilgan originalga mos tasvir shu kattalikka ko‘paytirilgan original tasvirga teng:

bu erda,

3. Originalni differensiallash operatsiyasi tasvir va operator ko‘paytmasiga mos:

bu ifoda da, holatida o‘rinli.
4. Originalni integrallash operatsiyasi tasvirning R operatorga bo‘linishi bilan teng:

5. Agar haqiqiy o‘zgaruvchi sohasida kechikish sodir bo‘lsa, original argumentining doimiy kattalikka siljishiga tasvirning ko‘paytirish operatsiyasi mos keladi:

bu erda,

6. Originalning yakuniy va boshlanishi haqidagi teoremalar original qabul qiladigan nol va cheksizlikdagi qiymatlari tasvirning cheksizlik va noldagi qiymatlaridan hamda R operator ko‘paytmasidan aniqlashini bildiradi:

7. O‘xshashlik teoremasi quyidagicha: t vaqt masshtabining doimiy qiymatga o‘zgarishi tasvir va kompleks o‘zgaruvchining shu qiymatga bo‘linishiga mos:

8. Siljish teoremasi originalning t dan kelib chiqqan ko‘rsatkichli funksiyasiga ko‘paytirilishi tasvir siljishiga mosligini bildiradi:

Yig‘ilish deb, ikki funksiya ustida bajarilgan integral operatsiyaga aytiladi. Bu ikki funksiyaning yig‘ilishi shu ikki funksiya tasvirlarining ko‘paytmasiga mos keladi. Agar

bo‘lsa, u holda

Boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganda differensial tenglamalarning operator shaklidagi yozilishi uning differensiallash operatsiyasi R orqali ifodalangan simvol shaklda yozilishdir:


Odatda bizni chiqish kattaligining o‘zgarishi kirish signaliga bog‘liqlik nisbati qiziqtiradi:
(5.1)
5.1-jadval

j (t) ning originali	F (p) ning tasviri	j (t) ning originali	F (p) nnng tasviri

Boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganda chiqish kattaligining tasviri kirish kattaligi tasvirining nisbatidan iborat bo‘lgan (11.7) ifoda tizimning uzatish funksiyasi deyiladi. Uzatish funksiyasi tizimning parametrlariga bog‘liq bo‘lib, kirish kattaligiga bog‘liq emas. U tizimning dinamik xususiyatlarini aniqlaydi. Amalda ishni osonlashtirish maqsadida har safar Laplas almashtirishi operatsiyasini bajarmay, ko‘p uchraydigan funksiyalarning tasvir originallari hisoblangan jadvaldan foydalanish qulay.

Keltirilgan jadvaldan teskari tartibda, ya’ni ma’lum tasviri bo‘yicha tegishli originalni topish uchun foydalanish ham mumkin.