|
Elektronning spin operatorlari
Relyativistik kvant mexanikasi asoslarini o’rganishga bag’ishlangan paragraflarda elektron spinining mavjudligini va u bilan bog’liq bo’lgan bir qator xossalarni nazariy jihatdan keltirib chiqarish mumkin. Lekin elektronning spini to’g’risidagi bir qator tushunchalarni norelativistik kvant mexanikasi nazariyasidan ham keltirib chiqarish va muhim natijalarga kelish mumkin.
Avvalo Ulenbek va Gaudsmit g’oyasining matematik ifodasiga o’taylik. Kvant mexanikasining asosiy prinsiplariga binoan elektronning spinini chiziqli va o’zaro qo’shma operator yordamida ifodalash kerak. Koordinata yo’nalishiga bo’lgan spin operatorlarining proyeksiyalarini va orqali belgilaylik. Kiritilgan operatorlar proyeksiyalarining ko’rinishini aniqlash uchun oldindan shunday talab qo’yamizki, bu operatorlar , orbital momentning proyeksiyalari bo’ysinadigan o’zaro o’rin almashtirish qoidalarini qanoatlantirsin. U holda (3.56) da operatorni bilan almashtirsak:
(7.4)
ifodalarni hosil qilamiz.Endi vektor o’rniga vektorni kiritaylik va ular o’zaro quyidagicha bog’langan bo’lsin,
(7.5)
ya’ni operatorlarni kiritib, ularni spin matritsalar deb nomlaymiz. Olingan (7.5) ifodani (7.4) tenglamalarga qo’yib, ga qisqartirsak,biz ning komponentalari uchun quyidagi munosabatlarni aniqlashimiz mumkin:
(7.6)
Asosiy g’oyaga binoan tanlab olingan yo’nalishga spin proyeksiyasi faqat ikkita qiymatni qabul qila oladi, ya’ni operatorning hususiy qiymatlari va ga teng bo’lishi kerak, u holda matritsaning hususiy qiymatlari esa +1 va -1 sonlariga teng bo’lishi kerak. Demak, matritsani diagonal elementlari +1 va -1 bo’lgan ikki qatorli diagonal matritsa shaklida bo’lishi kerak, ya’ni:
(7.7)
u holda, faqat 1 ga teng bo’lgan xususiy qiymatga ega bo’lib, birlik matritsa orqali ifodalanishi kerak. Koordinata sistemasining barcha uchala o’qlari teng huquqli bo’lganligi sababli, va operatorlarning qiymatlari ham birga teng bo’lishi kerak, ya’ni
(7.8)
ga teng bo’ladi. Endi matritsaning komponentalari uchun quyidagi munosabatlarni keltrib chiqaraylik, va lar o’zaro kommutativ, ya’ni:
bo’lganligi sababli, bu tenglikni quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin:
(7.6) munosabatdan foydalansak,
bo’ladi, yoki
ya’ni
(7.9)
munosabatni olishimiz mumkin. (7.9) ko’rinishdagi munosabatlarni qanoatlantiruvchi matritsalarni antikommutativ matritsalar deyiladi. matritsalarning har biri alohida, (7.6) munosabatlarni hisobga olgan holda, boshqalari bilan antikommutativ bo’lishi kerak, ya’ni
temglikni hisobga olsak, quyidagi munosabatlarni olishimiz mumkin:
(7.10)
Biz matritsaning ko’rinishini aniqlagan edik va u (7.7) formula bilan berilgan edi. Endi va larning aniq ko’rinishlarini aniqlab olaylik. Avvalo, izlanayotgan matritsa ermit matritsa bo’lishi kerak, chunki bu matritsa dinamik o’zgaruvchini ifodalaydi, uning va dioganal elementlari haqiqiy bo’lishi kerak, va elementlari esa bir-biriga kompleks qo’shma bo’lishi kerak, ya’ni matritsani biz
ko’rinishda olamiz. Ikkinchidan, va matritsalarning antikommutativligidan foydalanib, va ko’paytmalarni hisoblab chiqamiz va ularning natijalari uchun quyidagilarni olamiz:
Bu ikkala ko’paytmalarning antikommutativligini hisobga olsak,
ifoda kelib chiqadi. Demak, va kelib chiqadi, demak
hosil qilamiz. Lekin , ya’ni birlik matritsaga tengligini hisobga olsak
natija kelib chiqadi. Demak, bo’lishi kerak va matritsa ermit matritsa bo’lganligini hisobga olsak, uning elementlari bir biriga kompleks ko’shma bo’lishi kerak, ya’ni .Bu ikkita talabni faqat va sonlar qanoatlantirishadi. Shunday qilib,
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda α - haqiqiy son bo’lib, ixtiyoriy faza ko’paytmasi deb yuritiladi. Agar α ni nolga teng deb qabul qilsak,
natijani hosil qilamiz.
matritsani aniqlash uchun munosabatdan foydalanamiz va
ifoda kelib chiqadi. Shunday qilib, matritsaning uchta komponentalarini aniqlab oldik va ularning ko’rinishi quyidagicha bo’lar ekan:
, , (7.11)
Olingan (7.11) dagi matritsalar elektronning spinini hisobga olgan holda kvant mexanikasida fundamental rol o’ynaydilar va Pauli matritsalari deb yuritiladi. Pauli matritsalari yordamida (7.5) formulaga asoslanib, va operatorlarning oshkor ravishdagi ko’rinishini topishimiz mumkin, ya’ni
, , (7.12)
Ushbu spin matritsalarini hosil qilganimizda biz matritsaning operatorini dioganal ko’rinishda olganimizni doimo nazarda tutishimiz kerak, ya’ni biz -tasavvurda olingan matritsalarni hosil qildik. Keyinchalik shu narsaga e’tiborni qaratish kerakki, 1 belgi ga teng bo’lgan birinchi xususiy qiymatga, 2 belgi esa ga teng bo’lgan ikkinchisi xususiy qiymatga tegishlidir. Endi (7.12) dan foydalanib elektron spin operatorining kvadratini hisoblashimiz mumkin,ya’ni
(7.13)
Demak, atomdagi elektronning holatini to’la to’kis ko’rib chiqish uchun elektronning xususiy mexanik momentining mavjudligini hisobga olishimiz kerak. Ikkinchidan, elektron spin operatorining proyeksiyasi faqat ikkita qiymatni qabul qiladi:
, (7.14)
Olingan (7.14) tenglik elektron spin operatorini kvantlanish shartini ifodalaydi. Uchinchidan, elektron spin operatori kvadratining kvantlanish shartini yozishimiz mumkin, ya’ni
, (7.15)
Shunday qilib, biz ikkita va kvant sonlari kiritdik, birinchisi tanlangan OZ yo’nalishga spin proyeksiyasining qiymatini aniqlab bersa, ikkinchisi spin operatori kvadratining xususiy qiymatini aniqlaydi.
Shu paytgacha biz atomdagi elektron holatini ifodalash uchun uchta dinamik kattalik: E energiya, impuls momentining absolyut qiymati va impuls momentining Z-o’qiga bo’lgan proeksiyasi - ning, berilishi bilan cheklangan edik. Agarda bu kattaliklarning kvantlanish shartlarini eslasak, biz kvant sonlarining to’plami yordamida elektron holatini ifodalovchi usulni aniqlagan edik. Avval biz uchta kvant sonini kiritdik: n-bosh kvant soni, l-orbital, yoki azimutal kvant soni va m-magnit kvant soni. Endi elektron spinini hisobga olgan holda biz avval kiritilgan uchta kvant soniga to’rtinchi kvant sonini qo’shishimiz zarur. Shunday qilib, atomdagi elektron holati to’rtta kattalik – E, , va , yoki, to’rtta kvant soni – n, l, m, bilan ifodalanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
