5- mashg’ulot Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalarini topish. Vektorlar orasidagi burchakni topish. Vektorlarni skalyar ko‘paytirish

Yechish:1)  Bu  vektorlarning  skalyar  ko‟paytmasini  topishda  ikki  hadni  ikki 

hadga ko‟paytirish qoidasidan foydalanamiz: 

 ⃗ ⃗   (  ⃗    ⃗⃗)( ⃗     ⃗⃗)     ⃗

 

   ⃗ ⃗⃗     ⃗ ⃗⃗     ⃗⃗

 

    ⃗

 

    ⃗ ⃗⃗     ⃗⃗

 

. 

Har bir hadni alohida hisoblaymiz: 

 ⃗

 

  | ⃗|| ⃗|      

 

                

 ⃗ ⃗⃗   | ⃗|| ⃗⃗|        

 

          (    )       

 ⃗⃗

 

  | ⃗⃗|| ⃗⃗|      

 

                

bu  topilganlarni  yuqoridagi  ifodaga  qo‟yib  ( ⃗ ⃗)               (  )              

qiymatni hosil qilamiz. 

2) Bu vektorlarning uzunliklari esa 

| ⃗|   √ ⃗

 

  √(  ⃗    ⃗⃗)

 

  √  ⃗

 

    ⃗ ⃗⃗    ⃗⃗

 

  √            (  )       √  , 

| ⃗|   √ ⃗

 

  √( ⃗     ⃗⃗)

 

  √ ⃗

 

    ⃗ ⃗⃗     ⃗⃗

 

  √        (  )           √   . 

3) Ular orasidagi burchak 

   (  

⃗⃗⃗  ⃗

̂

)  

 ⃗ ⃗

| ⃗|| ⃗|

 

  

√  √   

  

4) 

 ⃗ vektorning  ⃗⃗ vektordagi proyeksiyasi 

  

 ⃗

 ⃗  

 ⃗ ⃗

| ⃗|

 

  

√   

  

 

 ⃗   * 

 

   

 

   

 

+,   ⃗⃗   * 

 

   

 

   

 

+  vektorlar  berilgan  bo„lsin,  ularning  skalyar 

ko‟paytmasi  

 ⃗ ⃗⃗    

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

                                             (1) 

tenglik bilan hisoblanadi. 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlar orasidagi   burchak kosinusi uchun 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

√ 

 

 

   

 

 

   

 

 

√ 

 

 

   

 

 

   

 

 

  

(2) 

tenglikni hosil qilamiz. 

---

 

(2) tenglikdan 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlarning  

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

                                               (3) 

perpendikulyarlik shartini va  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4) 

paralellik shartini hosil qilamiz. 

Tekislikda berilgan 

 ⃗    

 

 ⃗    

 

 ⃗ 

 ⃗⃗    

 

 ⃗    

 

 ⃗ 

vektorlar  uchun (1)-(4) formulalar  quyidagi ko„rinishlarni oladi: skalyar ko„paytmani 

hisoblash 

 ⃗ ⃗⃗    

 

 

 

   

 

 

 

                                            (5) 

va noldan farqli 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak kosinusi uchun 

    ( ⃗   ⃗⃗

̂

)  

 

 

 

 

   

 

 

 

√ 

 

 

   

 

 

√ 

 

 

   

 

 

   

perpendikulyarlik va paralellik shartlari mos ravishda 

 

 

 

 

   

 

 

 

       

bo‟ladi. 

 

2-Misol.  Uchlari 

 (        ),   (         ),   (         )  nuqtalarda  bo‟lgan 

uchburchak 

  ichki burchagining kosinusini toping. 

 

Yechish: 

  nuqtadan chiquvchi ikkita  ⃗     

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   *                    (  )+  

*        +,  ⃗⃗     

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   *                    (  )+   *         +  

vektorlarni tuzamiz. Qidirilayotgan  burchak 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlar orasidagi buchakka teng. 

Shuning uchun  

       

 ⃗ ⃗⃗

| ⃗|| ⃗⃗|

 

             (  )         

√(  )

 

   

 

   

 

  √ 

 

  (  )

 

    

 

 

  

√  √   

 

 

 √ 

  

Vektorlarning vektor ko‘paytmasi. 

2-Ta’rif. 

 ⃗  va   ⃗⃗  vektorlarning  vektor  ko‘paytmasi  deb,   ⃗    ⃗⃗  ko„rinishda 

belgilanuvchi shunday vektorga aytiladiki, bunda 

1) 

 ⃗    ⃗⃗  vektorning  uzunligi  | ⃗|   | ⃗⃗|          ga  teng,  bu  yerda     ana  shu   ⃗  va   ⃗⃗ 

vektorlar orasidagi burchak; 

2) 

 ⃗    ⃗⃗  vektor   ⃗  va   ⃗⃗  vektorlarga  perpendikulyar,  ya‟ni  bu  vektorlar  tekisligiga 

perprnedikulyar; 

3) 

 ⃗    ⃗⃗  vektor  shundy  yo„nalganki,  uning  uchidan  kuzatilganda,   ⃗  vektordan   ⃗⃗ 

vektorga eng qisqa burilish, soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi bo„ladi. Boshqacha 

qilib aytganda, 

 ⃗,  ⃗⃗ va  ⃗    ⃗⃗ vektorlar o‘ng uchlikni tashkil qiladi, ya‟ni o„ng qo„lning 

bosh, ko„rsatkich va o„rta barmoqlari singari joylashishgan.      

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlar kollinear bo„lganda  ⃗    ⃗⃗    

⃗⃗ deb hisoblaymiz 

Ta‟rifga ko„ra vektor ko„paytma uzunligining 

| ⃗    ⃗⃗|   | ⃗|   | ⃗⃗|                                      (6) 

qiymati 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlardan qurilgan parallelogarmmning yuziga teng  

---

 

 | ⃗    ⃗⃗|    

 

                                                  (7) 

Koordinatalari  bilan  berilgan  vektorlarning  vektor  ko‘paytmasi.   ⃗  va   ⃗⃗ 

vektorlar 

 ⃗   * 

 

   

 

   

 

+,  ⃗⃗   * 

 

   

 

   

 

+ to„g„ri burchakli dekart koordinatalari bilan 

berilgan bo„lsin. Vektor ko„paytmaning distributivlik xossasidan foydalanib 

 ⃗    ⃗⃗   ( 

 

 ⃗    

 

 ⃗    

 

 

⃗⃗)   ( 

 

 ⃗    

 

 ⃗    

 

 

⃗⃗)    

 

 

 

 ⃗    ⃗   

  

 

 

 

 ⃗    ⃗    

 

 

 

 ⃗    

⃗⃗    

 

 

 

 ⃗    ⃗    

 

 

 

 ⃗    ⃗    

 

 

 

 ⃗    

⃗⃗   

  

 

 

 

 

⃗⃗    ⃗    

 

 

 

 

⃗⃗    ⃗    

 

 

 

 

⃗⃗    ⃗⃗ 

(8) 

Ortlar vektor ko„paytmasining koordinatalarini topamiz: 

 ⃗    ⃗    ⃗    ⃗    

⃗⃗    ⃗⃗    ⃗⃗   ⃗    ⃗    ⃗⃗,     ⃗    ⃗⃗    ⃗,     ⃗⃗    ⃗    ⃗    ⃗    ⃗     ⃗⃗,     ⃗⃗    ⃗  

  ⃗,     ⃗    

⃗⃗     ⃗  

Shuning  uchun 

 ⃗  va   ⃗⃗  vektorlarning  vektor  ko„paytmasi  uchun  (8)  formuladan 

foydalanib 

 ⃗    ⃗⃗    

 

 

 

 

⃗⃗    

 

 

 

 ⃗    

 

 

 

 

⃗⃗    

 

 

 

 ⃗    

 

 

 

 ⃗    

 

 

 

 ⃗   

   ⃗( 

 

 

 

   

 

 

 

)    ⃗( 

 

 

 

   

 

 

 

)    ⃗⃗( 

 

 

 

   

 

 

 

)   

  |

 

 

    

 

 

 

    

 

|  ⃗   |

 

 

    

 

 

 

    

 

|  ⃗   |

 

 

   

 

 

 

   

 

|  

⃗⃗ 

(9) 

tenglikga ega bo„lamiz. (9) formulani 3-tartibli determinant orqali ifodalash mumkin: 

                    

 ⃗    ⃗⃗   |

 ⃗       ⃗       

⃗⃗

 

 

   

 

    

 

 

 

   

 

    

 

| 

(10) 

Bu determinantni 1-satr elementlari bo„yicha yoysak (9) tenglik hosil bo„ladi. 

2-Misol. 

 ⃗   *         +  va   ⃗⃗   *        +  vektorlardan  qurilgan  parallelogram 

yuzini hisoblang. 

Yechish: Qidirilayotgan yuzani 

 

 

  | ⃗    ⃗⃗| formula bilan topamiz. Dastlab 

 ⃗    ⃗⃗   |

 ⃗        ⃗        

⃗⃗

               

               

|     ⃗     

⃗⃗    ⃗    ⃗⃗     ⃗     ⃗    ⃗     ⃗     ⃗⃗ 

determinantni hisoblaymiz. Bundan esa 

 

 

  √ 

 

  (  )

 

   

 

  √    

3-Misol. 

 ⃗  va   ⃗⃗  vektorlar  o‟zaro    

 

  burchak  tashkil  qiladi,  hamda  |

 ⃗|      va 

| ⃗⃗|     bo‟lsa,  ⃗    ⃗⃗ vektor ko‟paytmaning modulini hisoblang. 

Yechish. (1) formulaga ko‟ra 

| ⃗    ⃗⃗|   | ⃗|| ⃗⃗|     

 

                     

4-Misol.  |

 ⃗|     ,  | ⃗⃗|      va   ⃗ ⃗⃗       bo‟lsa,   ⃗    ⃗⃗  vektor  ko‟paytmaning 

modulini hisoblang. 

Yechish: ikki vektor orasidagi burchak kosinusi formulasiga ko‟ra 

       

 ⃗ ⃗⃗

| ⃗|| ⃗⃗|

 

  

      

 

 

 

 

---

U  holda 

        √       

 

    √              .  (1)  formulaga  ko‟ra  | ⃗    ⃗⃗|  

| ⃗|| ⃗⃗|                          

Vektorlarning aralash ko‘paytmasi. 

3-Ta’rif. 

 ⃗,   ⃗⃗,   ⃗  vektorlarning  aralash  ko„paytmasi  deb,   ⃗    ⃗⃗  vektor 

ko„paytmaning   ⃗ vektor bilan skalyar ko„paytmasiga aytiladi: ( ⃗    ⃗⃗) ⃗. 

1-Teorema.  Uchta  nokomplanar  vektorlarning 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗  aralash  ko„paytmasining 

absolyut qiymati bu vektorlardan qirralar sifatida qurilgan parallelepiped hajmiga teng. 

Bunda agar 

 ⃗,  ⃗⃗,  ⃗ vektorlar o„ng uchlikni tashkil qilsa parallelepiped hajmi “+” ishora 

bilan, aks holda “ “ ishora bilan olinadi. 

Koordinatalari  bilan  berilgan  vektorlarning  aralash  ko‘paytmasi.   ⃗,   ⃗⃗,   ⃗ 

vektorlar 

 ⃗   * 

 

   

 

   

 

+,   ⃗⃗   * 

 

   

 

   

 

+,   ⃗   * 

 

   

 

   

 

+  to„g„ri  burchakli  dekart 

koordinatalari  bilan  berilgan  bo„lsin.  Bu  vektorlarning  aralash  ko„paytmasini  topish 

uchun skalyar va vektor ko„paytmalarni hisoblash formulalaridan foydalanamiz: 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗    ⃗( ⃗⃗    ⃗)    ⃗ {|

 

 

    

 

 

 

    

 

|  ⃗   |

 

 

    

 

 

 

    

 

|  ⃗   |

 

 

   

 

 

 

   

 

|  

⃗⃗}   

   

 

|

 

 

    

 

 

 

    

 

|    

 

|

 

 

    

 

 

 

    

 

|    

 

|

 

 

   

 

 

 

   

 

|   |

 

 

    

 

    

 

 

 

    

 

    

 

 

 

    

 

     

 

|  

(11) 

5-Misol. 

 ⃗   *        +,   ⃗⃗   *         +,   ⃗   *         +  vektorlardan  qirralar 

sifatida qurilgan piramidaning hajmini toping. 

Yechish:  Boshlari  bitta  nuqtaga  joylashtirilgan  uchta  vektorga  uchburchak 

piramidani ham, parallapipedni ham  mos qo„yish mumkin. Bunda piramidaning hajmi 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗  aralash  ko„paytma  absolyut  qiymatiga  teng  bo„lgan  parallapipedning  hajmidan  6 

marta  kichik  bo„ladi.  Shuning  uchun  dastlab 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗  aralash  ko„paytmani  (6)  formula 

bo„yicha hisoblaymiz: 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗   |

                

                

               

|    . 

U holda piramidaning hajmi 

    | ⃗ ⃗⃗ ⃗|       bo„ladi. 

6-Misol. 

 ⃗,   ⃗⃗,   ⃗  vektorlar  o‟ng  uchlikni  tashkil  qiladi  va  ular  o‟zaro 

perpendikulyar.  Agar  |

 ⃗|    ,  | ⃗⃗|      va  | ⃗|      bo‟lsa,   ⃗ ⃗⃗ ⃗  aralash  ko‟paytmani 

topng. 

Yechish: 

 ⃗ ⃗⃗ ⃗ aralash ko‟paytmani  ⃗ ⃗⃗ ⃗   ( ⃗    ⃗⃗) ⃗ tenglik bilan topamiz.  ⃗ va  ⃗⃗ 

vektorlar o‟zaro perpendikulyar bo‟lganligi uchun, | ⃗    ⃗⃗|   | ⃗|   | ⃗⃗|         

 

         

     . Vektor ko‟paytmaning ta‟rifiga ko‟ra  ⃗,  ⃗⃗,  ⃗    ⃗⃗ vektorlar o‟ng uchlikni tashkil 

qiladi, masala shartiga ko‟ra  ⃗,  ⃗⃗,  ⃗ vektorlar ham o‟ng uchlikni tashkil qiladi. Shuning 

uchun 

 ⃗    ⃗⃗  va   ⃗  vektorlar  parallel,  ya‟ni      ( ⃗    ⃗⃗   ⃗)

̂

   

 

.  U  holda  skalyar 

ko‟paytmaning ta‟rifiga ko‟ra  ⃗ ⃗⃗ ⃗   ( ⃗    ⃗⃗) ⃗   | ⃗    ⃗⃗|| ⃗|        

 

                  

7-Misol.  Tetraedrning  uchlari 

 (     ),   (       ),   (     )  va   (        ) 

nuqtalarda bo‟lsa, uning   uchidan tushirilgan balandligini toping. 

---

Yechish:  Tetraedrni  tashkil  qilgan  vektorlarni  tuzib  olamiz: 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   *         

         +   *         +,   

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   *     + va   

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   *        +. Bu vektorlarning aralash 

ko‟paytmasini topamiz: 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   |

                  

                       

                  

|                            

U holda bu tetraedrning hajmi 

      

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗          . Endi tetraedr  

   

 asosining 

yuzini  hisoblaymiz.  (2)  formulaga  ko‟ra 

 

   

  |  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗     

⃗⃗⃗⃗⃗⃗|  .  Koordinatalari  bilan 

berilgan vektorlarning vektor ko‟paytmasini hisobalymiz: 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗     

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   |

 ⃗

    ⃗

    

⃗⃗

       

 

    

    

|       ⃗      ⃗     

⃗⃗. 

Shuning 

uchun 

 

   

  √(   )

 

  (   )

 

   

 

                

Ma‟lumki 

tetraedrning hajmi 

     

   

      tenglikni qanoatlantiradi, bu yerda    tetraedrning   

uchidan tushirilgan balandlik. Shuning uchun  

       

 

 

   

     

     

  

      

Misollar 

1. 

 (       ),   (      )  va   (       )  nuqtalar  berilgan.    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  va    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  vektorlarning 

vektor ko‟paytmasini topng. 

2. Uchlari 

 (       ),  (     ) va  (       ) nuqtalarda bo‟lgan     uchburchakning 

yuzini toping. 

3.  Uchlari 

 (     ),   (        )  va   (       )  nuqtalarda  bo‟lgan      

uchburchakning 

  uchidan tushirilgan balandligini toping. 

4. 

 ⃗   *       +  va  ⃗⃗   *     + vektorlar tashkil qilgan burchak sinusini toping. 

5. 

 ⃗ va  ⃗⃗ vektorlar        

 

 burchak tashkil qiladi. Agar |

 ⃗|     va | ⃗⃗|     bo‟lsa, 1) 

( ⃗    ⃗⃗)

 

, 2) 

((  ⃗    ⃗⃗)   ( ⃗     ⃗⃗))

 

 ni hisoblang. 

6. 

 (       ),   (     ),   (      )  va   (       )  nuqtalar  berilgan.    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗,    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗  va    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 

vektorlarning aralash ko‟paytmasini toping. 

7.  Parallelepipedning  uchta 

 (     ),   (       ),   (       )  uchi  berilgan  bo‟lsa, 

qolgan beshta uchining koordinatalarini topng.   

8.  Uchlari 

 (      ),   (       ),   (       )  va   (       )  nuqtalarda  bo‟lgan 

bo‟lgan tetraedrning   uchidan tushirilgan balandligini toping. 

9.  To‟rtta 

 (       ),   (     ),   (      )  va   (     )  nuqtalar  bitta  tekislikda 

yotishini isbotlang. 

10. Tetraedrning hajmi 

     , uchta uchi  (       ),  (     ),  (       ) nuqtalarda 

yotadi. Agar to‟rtinchi   uchi    o‟qda yotishi ma‟lum bo‟lsa, uning koordinatalarini 

toping.