5- funksional qatorlarni xamda funksional ketma-ketliklarni xadlab integrallash

5- Funksional qatorlarni xamda funksional ketma-ketliklarni xadlab integrallash

1. 
   Funksional qatorlarni xadlab integrallash. segmentda yaqinlashuvchi
   

(14.5)
funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi S(x) bo’lsin:

14.10-teorema Agar
segmentda uzluksiz bo’lib, bu qator shu segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator xadlarining integrallaridan tuzilgan

Qator xam yaqinlashuvchi bo’ladi, uning yigindisi esa ga teng bo’ladi:

Isbot. Berilgan funksional qatorning xar bir xadi da uzluksiz, demak, funksialar segmentda integrallanuvchi. (14.5) funksional qator segmentda tekis yaqinlashuvchi. Unda 14.6-teoremaga ko’ra, funksional qatorning yig’indisi funksiya da uzluksiz, demak, integrallanuvchi bo’ladi.
Avvalo (14.5) funksional qator xadlarining integrallaridan tuzilgan

qatorning yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.
Shаrtgа ko’rа (14.5) funksional qаtоr [ ] dа tеkis yaqinlashuvchi. U hоldа 14.3-tеоrеmаgа аsоsаn, ∀ ε>0 olinganda ham, ga ko'ra, shunday topiladiki, bo’lganda
bo’ladi. Bu tendsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz.
(14.23)
Demak ∀ ε>0 olinganda xam, shunday topilgandaki, va bolganda (14.23) tengsizlik o’rinli bo’ladi. 14.3-teoremaga asosan

qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Odatdagidek berilgan funksional qatorning qismiy yig`indisini deymiz. Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi ta’rifidan, ∀ ε>0 olinganda ham ga ko`ra shunday topiladiki barcha va [ ] segmentning barcha nuqtalari uchun

bo’ladi.
Aniq integral xossasidan foydalanib quyidagini topamiz:
= +

Agar
|
bo`lishini e’tiborga olsak, unda
=0
bo`lib, natijada

ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo`ldi. Yuqoridagi munosabatni quydagicha ham yozish mumkin:
.
Bu esa 14.10-teoremaning shartlari bajarilganda cheksiz qatorlarda ham hadlab integrallash qoidasi o`rinli bo’lishini ko’rsatadi.
14.3-eslatma.Keltirilgan teoremada funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi sharti yetarli bo`lib, u zaruriy shart emas, ya’ni ba’zan tekis yaqinlashuvchilik shartini bajarmagan funksional qatorlarni ham hadlab integrallash mumkin bo`ladi.
Misol.Ushbu

qatorni qaraylik. Bu qatorning qismiy yig`indisi

bo`lib, yig`indisi esa

bo`ladi. Bu funksional qator [0,1] oraliqda tekis yaqinlashuvchilik shartini bajarmaydi. Ammo



bo`lishini e’tiborga olsak, unda

bo`lishi topiladi.
2.Funksional ketma-ketliklarni hadlab integrallash. segmentda :
(14.2)
funksional ketma-ketlik berilgan bo`lib , uning limit funksiyasi f(x) bo`lsin.
14.11-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi . segmentda uzluksiz bo`lib, bu funksional ketma-ketlik . da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`ladi, uning limiti esa ga teng bo`ladi, ya’ni
(14.24)
Bu teoremadagi (14.24) limit munosabatni quyidagicha

ham yozish mumkin.
6- Funksional qatorlarni hamda funksional ketma-ketliklarni hadlab differensiallash
1. Funksional qatorlarni hadlab differensiallash. segmentda yaqinlashuvchi (14.5)
funksional qator berilgan bo`lib, uning yig`indisi bo`lsin:

14.12-teorema. Agar qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan

funkdional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda berilgan funksional qatorning yig’indisi shu da hosilaga ega va

bo’ladi.