47-variant Bir jinsliga olib kelinuvchi differensial tenglamalar

2. Laplas almashtirishlari. Tasvir bo’yicha aslni toppish.

Taʼrif 1. 1) t oʻqning ixtiyoriy chekli intervalida f(t) funksiya integrallanuvchi;

1. 
   Barcha t<0 lar uchun, f(t)=0;
   
2. 
   f(t)-chegaralangan oʻsuvchi funksiya, koʻrsatkichli funksiyaga nisbatan tezroq oʻsmaydi, yaʼni shunday M>0, sonlar mavjudki, har qanday t lar uchun .
   

shartlarni bajaruvchi t haqiqiy argumentli f(t) ixtiyoriy kompleks funksiyaga Asl funksiya feyiladi.

Taʼtif 2. Haqiqiy oʻzgaruvchili f(t) funksiyaning Laplas almashtirishi deb kompleks oʻzgaruvchili

tenglik bilan aniqlanadigan F(p) funksiyaga aytiladi. Ushbu ifodaning oʻng tomoniga Laplas integrali deyiladi. f(t) funksiyaga Laplas almashtirilishining asli, F(p) funksiya esa f(t) funksiyaning tasviri deyiladi.

Adabiyotlarda asl bilan tasvir oʻrtasidagi bogʻliqlik yoki kabi belgilanadi.

Aytaylik funksiyaning tasvirini, yaʼni Laplas almashtirishini topamiz:

=



demak , xususan boʻlganda 1 va , c=const.

Taʼrif 3. Kompleks oʻzgaruvchili F(p) funksiyaning teskari Laplas almashtirishi deb, haqiqiy oʻzgaruvchili

funksiyaga aytiladi, bunda –qandaydir haqiqiy son. Ushbu ifodaning oʻng tomoniga Bromvich integrali deyiladi.

Teorema 1. (chiziqlilik teoremasi)

Agar , va va lar oʻzgarmaslar boʻlsa, u holda

boʻladi.

Teorema 2. (oʻxshashlik teoremasi)

Agar va a-oʻzgarmas son boʻlsa, u holda

boʻladi.

Teorema 3. (siljish teoremasi)

Agar boʻlsa, u holda ixtiyoriy kompleks son uchun,

boʻladi.

Teorema 4. (kechikish teoremasi)

Agar boʻlsa, u holda har qanday musbat son uchun,

boʻladi.

Teorema 5. (Aslni differensiallash teoremasi)

Agar – asl funksiyalar va boʻlsa, u holda

…………………………………………….

Teorema 6. (Aslni integrallash)

Agar boʻlsa, u holda

boʻladi.

Teorema 7. (Tasvirni differensiallash)

Agar boʻlsa, u holda

…, boʻladi.

Teorema 8. (Tasvirni integrallash)

Agar va integral yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda u funksiyaning tasviri boʻlib xizmat qiladi, yaʼni boʻladi.

Teorema 9. Oʻrama haqida (Borel teoremasi)

Aytaylik va ikkita asl funksiya boʻlsin. Ikkita aslning oʻramasi deb, t argument funksiyasi boʻlgan quyidagicha integralga

aytiladi.

Asllarning oʻramasi quyidagicha xossalarga ega:

1. 
   ;
   
2. 
   
   
3. 
   Agar , boʻlsa, u holda
   

yoki

Dyuamel formulasi. Agar va boʻlsa, u holda