4-tajriba ishi. Mavzu: Erkli sinashlar ketma-ketligi. Bernulli, Laplasning

Yechish. Izlanayotgan extimolni n  5
topamiz.
P 2  C ² 0.8² 0.2³  0.0512
m  2,
p  0.8,
q  0.2 da Bernulli formulasidan

5 5

Muavr – Laplasning loqal va integral teoremalari. Biz ⁿ ta sinashda hodisaning rosa k marta ro‘y berish extimolini xisoblashga imkon beradigan Bernulli formulasini keltirib chiqardik. Formulani keltirib
chiqarishda hodisaning har bir sinashda ro‘y berish extimoli o‘zgarmas deb faraz qildik. Osongina ko‘rish mumkin, Bernulli formulasini n ning katta qiymatlarida qo‘llash qiyin, chunki formula katta sonlar
ustida amallar bajarishni talab qiladi. Bunday savol to‘g‘ilishi tabiiy: bizni kiziktirayotgan extimolni Bernulli formulasini qo‘llamasdan xisoblash ham mumkinmi? Xa, mumkin ekan. Laplasning loqal teoremasi sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lganda hodisaning ⁿ ta tajribada rosa k marta ro‘y berish extimolini tarkibiy hisoblash uchun asimptotik formula beradi. Aytib utish kerakki, xususiy xolda,

chunonchi,

p  ¹

2

bo‘lganda asimptotik formulani 1730 yilda Muavr topgan edi; 1783 yilda esa

Muavr formulasini Laplas 0 va 1 dan farqli ixtiyoriy p uchun umumlashtirgan. Shuning uchun bu yerda so‘z borayotgan teoremani ba’zan Muavr – Laplas teoremasi deb ataladi.
Muavr – Laplasning lokal teoremasi. Agar har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish extimoli ^p o‘zgarmas bo‘lib, nol va birdan farqli bo‘lsa, u xolda ⁿ ta sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish extimoli taqriban ( n qancha katta bo‘lsa, shuncha aniq)

• 
  _x2
  

y  ¹  ¹ e ²  ¹ x

funksiyaning

k  np
x  dagi qiymatiga teng.

x 
₁  _x 2
_e 2

funksiyaning x argumentning musbat qiymatlariga mos qiymatlaridan tuzilgan

jadvallar mavjud. Funksiya juft, ya’ni

^{  x   x} bo‘lganligi uchun bu

jadvallardan argumentning qiymatlari manfiy bo‘lganda ham foydalaniladi. Shunday qilib, n ta erkli

Yana faraz kilaylik, n sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisaning ro‘y

berish extimoli o‘zgarmas va ^p ga 0  p 1 teng bo‘lsin. ⁿ ta sinashda A hodisaning kamida ^k₁
ta va ko‘pi bilan ^k₂ marta ro‘y berish extimoli P_n k₁, k₂  ni qanday xisoblash mumkin (qisqalik
uchun «...dan ... martagacha» deymiz)? Bu savolga Laplas teoremasi javob beradi.