4. Методика изучения тождественных преобразований

Тема 4. Методика изучения тождественных преобразований
4.1. Роль и место тождественных преобразований в школьном курсе математики. Пропедевтика тождественных преобразований в 5 - 6 классах
Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основе формируются представления об анали­тических методах математики. Как правило, решение каждой математической за­дачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований.
Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Без них не обходятся и на уроках геометрии.
Изучение темы имеет как самостоятельное, так и прикладное значение. Материал линии связан
- с обобщением операций над числами;
- проведением вычислений в общем виде;
- обучением использования буквенной символики в математике и ее приложениях.
Существует два подхода к изучению линии тождеств: алгебраический и функциональный.
Алгебраический подход. Больше внимания уделяется букве и операциям над буквенными выражениями. На выражение смотрят формально, не задумываясь над тем, что скрывается под буквами. Все преобразования опираются на правила действий и свойства действий.
Функциональный подход. Входящие в выражения буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (равенство значений функций при всех допустимых значениях переменной).
Понятие о тождественных преобразованиях закладывается в сознание ученика уже в 5 классе, хотя, согласно программе, термины «тождество» и «тождест­венное преобразование» еще не введены. В 5-м классе даются задания, в которых рассматриваются некоторые преобразования числовых выражений и выражений, содержащих переменные; тождественные преобразования, выполняемые на ос­нове свойств арифметических действий. Учащиеся знакомятся с первыми основ­ными тождествами (например, ab = ba, a(b+c) = ab + ас и др.), а затем применяют их при решении следующих видов упражнений:
1.Найти значение выражения: 977*43+43*23 = 43*(977+23)
2. При каких значениях переменной истинны равенства:
3(х+5) = Зх +15; (7+х)5 = 7*5+х*5?
3.Выполнить действия 129*70 = (130-1)*70 = 9100 - 70
4.Сократить дробь 9/129 = 9/3*43 = 3/43.
Используя такого рода упражнения, мы не просто подготавливаем учащихся к введе­нию понятия тождественного преобразования, но и готовим их к осознанию целесо­образности тех или иных преобразований.
В 6-м классе дается понятие коэффициента, учащиеся знакомятся с выраже­ниями вида: 2а, -ab, -Заb, то есть фактически постигают понятие одночлена, хотя термин «одночлен» не вводится. Приведение подобных слагаемых рассматривается как пример применения распределительного свойства к сумме произведений с одинаковыми буквенными множителями: За + 4b + 2а = а(3+2) + 4b = 5а + 4b.
4.2. Определения понятий «тождество» и «тождественное преобразова­ние»
Первое определение тождества дается в 7-м классе.
Определение Равенство, верное при любых значениях переменной, называ­ется тождеством.
Данное определение компактно и хорошо, когда учащиеся работают с целыми рациональными выражениями. Так равенства вида а² /а = а или  не подходят под это определение, поэтому его необходимо уточ­нить, и в 8-м классе в теме «Рациональные дроби» дается уже другоеопределе­ние: Равенство, верноепри всех допустимых значениях, входящих в него пе­ременных.
Наиболее общим является следующее определение: Равенство, верное при любых значе­ниях переменных, принадлежащих некоторому множеству ,называетсятождест­вом на этом множестве.
Данное определение раскрывает суть тождества с теоретико-функциональной точки зрения.
Например, (а+в)² = а²+2ав+в² - тождество на R;
- тождество на R⁺;
- тождество при х>0
Некоторые тождества выбираются как основные, с их помощью доказыва­ются остальные тождества и рассматриваются свойства операций, ис­тинность которых принимается в качестве аксиом (коммутативность, ассоциа­тивность, дистрибутивность, существование противоположного элемента и др.)
Различают понятия:
Тождества-равенства (формулы сокращенного умножения, свойства степени с натуральным показателем и др.)
Тождества-действия (вынесение общего множителя за скобку, приведение подобных слагаемых и др.) или тождественные преобразования.
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называетсятождественным преобразованием.
К тождественным преобразованиям можно отнести, например, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, сокращение дробей и так далее.
Процесс формирования навыков тождественных преобразований
Содержание линии тождественных преобразований выделяется в настоящее время достаточно четко. В нее входят: изучение тождеств в числовой системе, их применение к упрощению выражений и решению уравнений, изучение тождеств в классе элементарных функций. Организация изучения отдельных тождеств пред­полагает использование специальных циклов заданий. Цикл заданий на материале конкретной темы характеризуется соединением в последовательность упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. Применительно к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом. Задания связаны с изучением одного тождества, вокруг ко­торого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла, наряду с исполнительными, входят задания, требующие распозна­вания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применя­ется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества.
Задания в цикле разбиты на две группы.
I группа. Задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождест­вом. Это материал для нескольких идущих подряд уроков. Это этап усвоения тож­дества, запоминания его словесной формулировки, выработки навыка его приме­нения в хорошо видной ситуации.
II группа связывает изучаемое тождество с различными его применениями. Это этап углубленного понимания тождества за счет рассмотрения его в разнооб­разных ситуациях в сочетании с использованием материала, относящегося к дру­гим темам школьного курса.
Рассмотрим систему упражнений для усвоения тождества