4-mavzu: Trigonometrik tenglamalar (4 soat)

4-mavzu: Trigonometrik tenglamalar (4 soat)

Noma`lum son faqat trigonometri funksiyaning argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trigonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi. , , , ko`rinishdagi tenglamalar eng soda trigonometrik tenglamalar deyiladi. Bu tengla-malarda tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo`ladi.

Odatta trigonometrik tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish bitta yoki bir nechta eng sodda trigonometrik tenglamalarni (tengsizlillarni) yechishga keltiriladi.

sinα=m ko`rinishdagi eng soda tenglama.

tenglamani yechishbirlik aylanadagi shunday nuqtani topishdan iboratki, uning ordinatasi m gat eng bo`lishi kerak. Buning uchun gorizontal diametrga parallel bo`lgan y=m to`g`ri chiziq bilan birlik aylananing kesishish nuqtalarini:

1. 
   agar |m|>1bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanani kesmay, undan yuqori yoki quyidan o`tadi . Demak, bu holda tenglama echimga ega emas;
   
2. 
   agar bo`lsa, to`g`ri chiziq aylanaga yo yuqoridagi nuq-tada yoki quyidagi nuqtada urilib o`tadi (16-rasm). Bu holda tenglama yagona ildizga ega: yoki . Agar funksiya asosiy davri ham e`tiborga olinsa, yechimni ko`rinishda yozish mumkin.
   
3. 
   |m|>1 bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanada va nuqtalarda kesadi. Demak, tenglamalarning yechimi shu nuqtalarning koordinatalari bo`lgan barcha sonlar to`plamlarining birlashmasi bo`ladi:
   

Yechimni ; ko`rinishda ham yozish mumkin. Yechimning geometrik tahlilida y=m to`g`ri chiziq bilan sinusoidaning kesishish nuqtasi haqida ham gapirish mumkin.

Misol. tenglamani yeching.

Yechish. y= (y>1) to`g`ri chiziq koordinatali aylanani va nuqtalarda kesadi . B₁ nuqta barcha sonlar to`plamiga, B<sub>2</sub> nuqta esa barcha ko`rinishdagi sonlar to`plamiga mos. Barcha yechimlar to`plamini

; yoki ko`rinishda yozish mumkin. oraliqqa tegishli bo`lgan yagona x₀ yechimga ega.

va ko`rinishdagi eng soda tenglamalar.

Koordinatali aylananing har bir nuqtasi Dekart koordinatalr sistemasidagi biror B(x;y) nuqta bilan ustma-ust tushushini va bilamiz. Shunga ko`ra noma`lum qatnashayotgan yoki tenglamaning barcha yechimlarini koordinatali aylana bilan , ya`ni y=mx to`g`ri chiziqning kesishish nuqtalari yordamida aniqlash mumkin. m ning har qanday qiymatida y=mx to`g`ri chiziq aylanani O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan B₁ va B₂ nuqtalarda kesadi.

Ulardan bir- < o`ng yarim aylana o`tadi. Bu nuqta bo`lsin ikkinchi nuqta bo`ladi. Demak, tenglamaning barcha yechimlari to`plami va sonlar to`plamlari birlashmasidan iborat. Barcha yechimlar (1) formula bilan aniqlanadi.

1. sinx = a, |a| ≤ 1, yechim:

x = arcsina + πn;

2. sinx = 0, yechim: x = πn;

3. sinx = −1, yechim: x = − + 2πn;

4. sinx = 1, yechim: x = + 2πn;

5. cosx = a, |a| ≤ 1, yechim: x = ±arccosa + 2πn;

6. cosx = 0, yechim: x = + πn;

7. cosx = −1, yechim: x = π + 2πn;

8. cosx = 1, yechim: x = 2πn;

9. tgx = a, yechim: x = arctga + πn;

10. ctgx = a, yechim: x = arcctga + πn;

Mustaqil yechish uchun testlar

1) 2sinx = −1

A) − + 2πk, k ∈ Z

B) − + πk, k ∈ Z

C) + πk, k ∈ Z

D) ± + 2πk, k ∈ Z

E) + πk, k ∈ Z

2) Cos(2x − )= 0

A) n, n ∈ Z

B)

C) πn, n ∈ Z

D) + n, n ∈ Z

E) n, n ∈ Z

3) ctg( (x − 1))= 0tenglamaning (1; 5) oraliqda nechta ildizi bor?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5