4-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi, asosiy tushunchalar. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar

4.1-teorema. Tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar bajarilsa, berilgan sistemaga teng kuchli sistema hosil bo‘ladi. (1) sistema ustida elementar almashtirishlarni ketma –ket bajarib, (1) sistemani quyidagi “Trapetsiya ” ko‘rinishiga keltiriladi:
(4)

Bu joyda .

4.2-teorema. Agar bo‘lsa, (4) birgalashmagan, bo‘lsa, (4) sistema birgalashgan aniq, bo‘lsa, (4) sistema birgalashgan aniqmas bo‘ladi.
Agar (4) birgalashgan aniq sistema ( ) bo‘lsa, u holda (4) sistemaning n- tenglamasidan ni (n-1) -tenglamasidan ni ,...., 1-tenglamasidan ni mos qiymatlari : larni ketma- ket topiladi. elementlar sistemasi (4) tenlamalar sistemasining (o‘z navbatida unga teng kuchli bo‘lgan (1) sistemaning ) yagona echilmasi bo‘ladi.
Agar (4) birgalashgan aniqmas ( ) sistema bo‘lsa, u holda (4) sistemani

(5)
Ko‘rinishda yozamiz.
Bu sistemadagi noma’lumlarni ozod noma’lumlar (parametrlar) larni asosiy noma’lumlar deyiladi. larga ixtiyoriy qiymatlarni cheksiz ko‘p berish mumkin, demak lar uchun ham ( larga mos keluvchi) cheksiz ko‘p qiymatlar topiladi. SHunday qilib, bu holda (4) sistemaning (unga teng kuchli (1) sistemaning) cheksiz ko‘p echilmalari mavjud bo‘lar ekan.
Agar (1) sistemada bo‘lsa, unday sistemani birjinsli deyiladi. Bir jinsli sistemalar hamma vaqt birgalashgan bo‘ladi. CHunki uning echilmasi bo‘lib, bu bir jinsli sistemani ham Gauss usuli bilan echiladi.
MISOLLAR. 2.

Sistemani eching.
erilgan sistemaning 1-tenglamasini har ikki tomonini (-3) ga , (-2) ga, (-1) ga ko‘paytirib mos ravishda 2-, 3-, 4- tenglamalariga qo‘shamiz (bu bajarilgan elementar almashtirishlarni yuqoridagidek sxematik tasvirlaymiz) natijada berilgan sistemaga teng kuchli bo‘lgan

sistemaga ega bo‘lamiz. Bu sistemadagi 2- va 4- tenglamalarning o‘rinlarini o‘zaro almashtirib, unga ekvivalent bo‘lgan (bu almashtirishni sxematik ravishda yuqoridagidek belgilaymiz)

Sistemani hosil qilamiz. Sxemada ko‘rsatilgan elementar almashtirishni bajarib,
:3
sistemaga kelamiz. Bu sistemani 3-tenglamasini 3 ga, 4- tenglamasini (-3) ga qisqartirib (har ikki tomonini bo‘lib) ularning o‘rinlarini almashtirib yozamiz (sxematik belgilashga qarang)

Oxirgi sistemaning 4- tenglamasidan , ning bu qiymatini sistemaning 3- tenglamasiga qo‘yib ni topamiz, larni bu qiymatlarini 2- tenglamaga qo‘yib ni topamiz, larni bu topilgan qiymatlarini 1- tenglamaga qo‘yib ni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona , , , echilmaga ega.
3)
Sistemani eching.

Bu sistemadan larni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona nol echilma ( ) ga ega .