4-Мавзу: Боғлиқлик аксиомалари ва улардан келиб чиқадиган натижалар

4.2-теорема. Тўғри чизиқ ва унда ётмайдиган нуқта, ҳамда иккита кесишувчи тўғри чизиқлар орқали битта ва фақат битта текислик ўтади.
Исбот. Биринчи тасдиқни исботлаймиз. B нуқта а тўғри чизиққа тегишли эмас деб фараз қилайлик. аксиомага кўра а тўғри чизиқда камида иккита нуқта мавжуд. Бу нуқталарни Р ва Q деб белгилайлик. аксиомага кўра В, Р, Q нуқталардан ўтувчи текислик мавжуд. - аксиомага кўра текислик а тўғри чизиқ орқали ўтади. аксиомага кўра бир тўғри чизиқда ётмайдиган В, Р, Q нуқталардан ўтувчи текислик ягона равишда аниқлангани учун а тўғри чизиқ ва В нуқтадан ўтувчи дан бошқа текислик мавжуд эмас.
Энди иккинчи тасдиқни исботлаймиз. а ва b тўғри чизиқлар С нуқтада кесишади деб фараз қилайлик. аксиомага кўра а тўғри чизиқда С дан фарқли А нуқта, b тўғри чизиқда С дан фарқли B нуқта мавжуд. А, В, С нуқталар бир тўғри чизиқда ётмайди. аксиомага кўра A, B, С ларнинг ҳар биридан ўтувчи текислик мавжуд. аксиомага кўра текислик а ва b тўғри чизиқлардан ўтади. аксиомага кўра бу текислик ягона. 4.2 —теорема исботланди.
4.3-теорема. Ҳар қандай текислик бир тўғри чизиқда ётмайдиган камида учта нуқтани ўз ичига олади.
Исбот. аксиомага кўра текисликда ётмайдиган B нуқта мавжуд. 1₃ аксиомага кўра AB тўғри чизиқдан ташқарида C нуқта мавжуд. А нуқта ABC ва текисликларнинг умумий нуқтаси эканидан, аксиомага кўра уларнинг яна камида битта умумий D нуқтаси бор. Шундай қилиб, текисликда А нуқтадан ташқари D нуқта ҳам мавжуд. аксиомага кўра ABD текисликда ётмайдиган Е нуқта мавжуд. аксиомага кўра АВЕ текислик мавжуд, аксиомага кўра, АВЕ ва текисликлар А дан фарқли умумий F нуқтага эга ( аксиомага кўра F нуқта АВ тўғри чизиқда ётмайди). F ва D нуқталар АВ тўғри чизиқда ётмаслигидан, 4.1-теореманинг иккинчи тасдиғига кўра улар ABF ва ABD текисликларнинг умумий нуқталари бўла олмайди, бу ердан D ва F нуқталар ҳар хил экани келиб чиқади. Шундай қилиб, текисликда учта A, D, F турлича нуқалар мавжуд экан. 4.3 —теорема исботланди.