4-Мавзу: Боғлиқлик аксиомалари ва улардан келиб чиқадиган натижалар

Евклид геометрияси аксиомалари

4-Мавзу: Боғлиқлик аксиомалари ва улардан келиб чиқадиган натижалар
Элементар геометрия аксиомалари беш гуруҳга бўлиб ўрганилади.
I гуруҳ саккизта боғлиқлик аксиомаларини ўз ичига олади.
II гуруҳ тўртта тартиб аксиомаларидан иборат.
III гуруҳ бешта конгруэнтлик аксиомаларидан тузилган.
IV гуруҳ битта узлуксизлик аксиомасидан ташкил топган.
V гуруҳ битта параллеллик аксиомасини ўз ичига олади.
Бу параграфда I гуруҳ боғлиқлик аксиомалари ва улардан келиб чиқадиган натижалар ҳақида тўхталамиз.
Боғлиқлик аксиомаларида нуқта, тўғри чизиқ ва текисликларни ўзаро жойлашиши хоссалари ҳақида сўз юритилади ва «тегишли» сўзи билан ифодаланилади.
Бунда «А нуқта а тўғри чизиққа тегишли», «А нуқта а тўғри чизиқда ётади» ва «а тўғри чизиқ А нуқтадан ўтади» каби жумлалар тенг кучли, «А нуқта текисликка тегишли», «А нуқта текисликда ётади» ва « текислик A нуқтадан ўтади» каби жумлалар тенг кучли деб ҳисобланади. Агар С нуқта а ва b тўғри чизиқларга тегишли бўлса, а ва b тўғри чизиқлар C нуқтада кесишади дейилади. а тўғри чизиқнинг барча нуқталари текисликка тегишли бўлса а тўғри чизиқ текисликда ётади ёки текислик а тўғри чизиқ орқали ўтади деб аталади.
ва текисликларнинг ҳар бири а тўғри чизиқ орқали ўтса, ва текисликлар а тўғри чизиқ буйича кесишади дейилади.
Биринчи гуруҳ қуйидаги саккизта аксиомалардан ташкил топган:
аксиома. А ва В нуқталар қандай бўлмасин, бу нуқталарнинг ҳар биридан ўтувчи с тўғри чизиқ мавжуд.
аксиома. Турли А ва В нуқталар қандай бўлмасин, бу нуқталардан ўтувчи биттадан ортиқ бўлмаган тўғри чизиқ мавжуд
Бу икки аксиомани қуйидагича ифодалаш мумкин: Исталган иккита турли нуқталар бу нуқталардан ўтувчи битта ва фақат битта туғри чизиқни аниқлайди.
Аксиома. Ҳар бир тўғри чизиқда камида иккита нуқта ётади. Бир тўғри чизиқда ётмайдиган камида учта нуқта мавжуд.
аксиома. А, В, С нуқталар қандай бўлмасин, бу нуқталарнинг ҳар биридан ўтувчи текислик мавжуд. Ҳар бир текисликда камида битта нуқта ётади.
аксиома. Бир тўғри чизиқда ётмайдиган А, В, С нуқталар қандай бўлмасин, бу нуқталарнинг ҳар биридан ўтувчи биттадан ортиқ бўлмаган текислик мавжуд.
аксиома. d тўғри чизиқнинг А ва В нуқталари (яъни, d тўғри чизиққа тегишли) текисликда ётса, d тўғри чизиқ текисликда ётади.
аксиома. ва текисликлар битта умумий С нуқтага эга бўлса (текисликларнииг ҳар бирида ётувчи нуқта), уларнинг яна камида битта умумий О нуқтаси мавжуд.
аксиома. Бир текисликда ётмайдиган камида тўртта нуқта мавжуд.
Боғлиқлик аксиомаларидан бир неча натижалар келиб чиқади. Бу натижалардан баъзиларини келтирамиз.
4.1-теорема. Иккита тўғри чизиқ биттадан ортиқ бўлмаган умумий нуқтага эга; иккита текислик ёки умумий нуқтага эга эмас ёки умумий тўғри чизиққа эга текислик ва унда ётмайдиган тўғри чизиқ биттадан ортиқ бўлмаган умумий нуқтага эга.
Исбот. Биринчи тасдиқнинг исботи аксиомадан келиб чиқади. Яъни, тескарисини фараз қиламиз. а ва b тўғри чизиқлар бир- биридан фарқли бўлиб, умумий С нуқтадан ташқари D нуқтага ҳам эга бўлсин. У ҳолда, С, D нуқталар а, b тўғри чизиқларга тегишли экани келиб чиқади. С ва D нуқталар а, b тўғри чизиқларга тегишлилигидан аксиомага кўра а тўғри чизиқ билан b тўғри чизиқ устма-уст тушади. Бу зиддият биринчи тасдиқни исботлайди.
Иккинчи тасдиқни исботлайлик. ва текисликлар умумий Р нуқага эга бўлсин деб фараз қилайлик. аксиомага кўра ва
текисликлар Р дан фарқли умумий Q нуқтага эга бўлади. Р ва Q нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ ва текисликларнинг ҳар бирида

ётади. Демак, а тўғри чизиқ ва текисликларнииг умумий нуқталаридан ташкил топган экан. Бундан ташқари, а тўғри чизиқ ва текисликларнинг барча умумий нуқталарини ўз ичига олади. Хақиқатдан ҳам, ва текисликларнинг а тўғри чизиқда ётмайдиган умумий R нуқтаси бор деб фараз қилайлик. У ҳолда, ва текисликларнинг бир тўғри чизиқда ётмайдиган умумий учта Р, Q, R нуқталари мавжуд бўлади. 1₅ аксиомага кўра ва текисликлар устма — уст тушади. Шундай қилиб, ва текисликлар тўғри чизиқ буйича кесишар экан. Тасдиқ исботланди.

Учинчи тасдиқ эса аксиомадан келиб чиқади. Хақиқатдан ҳам, текислик ва унда ётмайдиган тўғри чизиқнинг иккита умумий нуқтаси бўлсин деб фараз қилсак, — аксиомага кўра тўғри чизиқ текисликда ётиши келиб чиқади. Бу зиддият теореманинг учинчи тасдиғини исботлайди. 4.1 —теорема исботланди.