4-mavzu. Algebraik to’ldiruvchi va minorlar. Laplas teoremasi

4.1-lemma. ko’paytmaning hadlari determinantning hadlari bo’lib, ular bir xil ishorali bo’ladi.
Endi umumiy holni qaraymiz, ya’ni minor nomerli satrlarda va ustunlarda joylashgan bo’lib,

bo’lsin.
U holda satrlarda va ustunlarda mos ravishda va almashtirishlar bajarib, bosh minorga olib kelamiz. Hosil bo’lgan determinant oldingi determinant bilan faqat ishorasi bilangina farq qiladi, ya’ni

bu yerda



Demak,
.
Bu yerdagi M minor bosh minor bo’lganligi uchun biz 4.1-lemmadan foydalanib, quyidagi lemmaga ega bo’lamiz.
4.2-lemma. Determinantning ixtiyoriy minorini o’z algebraik to’ldiruvchisiga ko’paytmasidagi har bir hadlar bir xil ishora bilan determinantning hadi ham bo’ladi.
Endi biz determinantni bir nechta satri yoki ustuni bo’yicha yoyish haqidagi Laplas teoremani keltiramiz.
4.3-teorema. (Laplas teoremasi). Determinantning tanlab olingan k ta ( ) satri bo’yicha barcha k-tartibli minorlarining o’z algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisi determinantga teng bo’ladi.
Isbot: Teoremaning shartiga asosan biz
(4.2)
yoyilmani to’g’ri ekanligini ko’rsatishimiz kerak, bu yerda lar tanlab olingan satrlar bo’yicha olingan barcha minorlar va lar minorlarga mos keluvchi algebraik to’ldiruvchilardir.
Yuqoridagi lemmalarga asosan ko’paytmalarning har bir hadi determinantning hadi bo’lib, ular bir xil ishorali bo’ladi.
Aytaylik,

determinantning ixtiyoriy hadi bo’lsin. Bu ko’paytmadan biz tanlab olingan satrlarga tegishli bo’lgan elementlarning ko’paytmasini olamiz:
.
Bu ko’paytma satrlar va ustunlarning kesishmasida turuvchi k-tartibli minorning umumiy hadi bo’lib, olinmay qolgan ko’paytuvchilar tartibli to’ldiruvchi minorning umumiy hadi bo’ladi.
Shunday qilib, determinantning har qanday hadi tanlab olingan satrlar bo’yicha minor bilan to’ldiruvchi minorining tarkibiga kiradi. Nihoyat, determinantda bo’lgan hadni hosil qilish uchun, to’ldiruvchi minorni algebraik to’ldiruvchi bilan almashtirish kerak.
Endi biz (4.2) tenglikning o’ng tomondagi hadlar soni nechta bo’lishini aniqlaymiz. Bizga ma’lumki, minorda ta had bo’lib, algebraik to’ldiruvchida esa ta had mavjud. Demak, ko’paytmada ta had ishtirok etadi. Ma’lumki, tanlab olingan k ta satrdan hozil qilinadikan barcha k-tartibli minorlar soni n-ta sondan k-ta sonni tanlab olishlar soniga teng, yani k-tartibli minorlar soni ga teng. Demak, o’ng tomondagi barcha hadlar soni

ga teng. Bu esa chap tomondagi hadlar soni bilan o’ng tomondagi hadar soni teng ekanligini bilbiradi. Chunki n-tartibli determinantning ta hadi mavjud. Demak, biz determinantning barcha hadi o’ng tomonda ham aynan bir maqotaba ishtirok etishini ko’rsatdik. 