4 мавзу : Юқори тартибли тенгламалар учун чегаравий масалалар

4 мавзу : Юқори тартибли тенгламалар учун чегаравий масалалар
Юқори тартибли оддий дифференциал тенгламалар учун қўйилган чегаравий масалани ечишда янги қийинчиликлар деярли келиб чиқмайди. Шунинг учун битта типик мисолни текшириш билан чегараланамиз. Қуйидаги

дифференциал тенглама берилган бўлсин. дифференциал ифоданинг Грин функцияси тушунчасини киритамиз. Икки аргументли функция қуйидаги шартларни қаноатлантирсин.
. , ва функциялар нинг ҳамма қийматларида узлуксиз;
. функция бир жинсли чегаравий шарт деб аталадиган
, , , (1.15)
шартларни қаноатлантиради;
. нинг дан бошқа ҳамма қийматларида , ҳосилалар узлуксиз, лекин нуқтада учинчи тартибли ҳосила биринчи тур узилишга эга бўлиб, унинг сакраши га тенг, яъни

ёки
.
. функция ва интервалларда тенгламани қаноатлантиради.
Бу ҳолда функция дифференциал операторнинг (1.15) чегаравий шартларни қаноатлантирадиган Грин функцияси дейилади.
Грин функциясининг энг характерли хусусиятларидан бири унинг учун Гильберт теоремасининг ўринлигидир, яъни агар функция
(1.16)
тенгламани ва (1.15) чегаравий шартларни қаноатлантирса, уни
(1.17)
кўринишда ифодалаш мумкин, ва аксинча, (1.17) формула билан берилган функция (1.16) тенглама ва (1.15) чегаравий шартларни қаноатлантиради (бу ерда да узлуксиз функция).
Эслатиб ўтамизки, (1.15) чегаравий шартлар ўрнига умумий чегаравий шартлар ҳам кўрилиши мумкин. Масалан, қуйидаги
(1.18)
чегаравий шартлар берилган бўлса, ундан , , , бўлганда (1.15) шартлар ҳосил бўлади.