4– ma’ruza to’g’ri chiziqli tekis o’zgaruvchan harakat. Erkin tushish. Pastga va yuqoriga vertikal otilgan jism harakati. To’g’ri chiziqli tekis o’zgaruvchan harakatlarning grafik ta’sviri. Egri chiziqli harakatlar

g, sm/soniya²

0	978.049	978.051	978.055	978.063	978.074	978.088	978.105	978.125	978.149	978.175
10	978.204	978.237	978.272	978.31	978.35	978.394	978.44	978.489	978.541	978.595
20	978.652	978.711	978.772	978.836	978.902	978.969	979.039	979.111	979.185	979.261
30	979.339	979.417	979.497	979.578	979.661	979.746	979.831	979.917	980.004	980.092
40	980.18	980.27	980.359	980.449	980.539	980.629	980.72	980.81	980.9	980.989
50	981.079	981.167	981.255	981.343	981.429	981.515	981.599	981.682	981.764	981.845
60	981.924	982.001	982.077	982.151	982.224	982.294	982.362	982.429	982.493	982.554
70	982.614	982.671	982.725	982.777	982.827	982.873	982.917	982.958	982.997	983.032
80	983.065	983.094	983.121	983.144	983.165	983.182	983.196	983.207	983.215	983.200
90	983.221

Erkin tushish tezlanishini geografik kenglikka bogʻliqligi Bu erda g₀ dengiz sathidagi erkin tushish tezlanishi (sm/s²), h- joyning balandligi (metr).Erkin tushish tezlanishi g ning qiymati - joyning geografik kengligi - φ , bu joyning dengiz sathidan balandligi - h larning qiymatlairiga uzviy bog‘liq. Dengiz sathida g ning φ ga bog‘liqligi quyidagi formula orqali ifodalanadi: 
gφ=978.049 (1+0.005288sin2φ – 0.000006sin2φ) (4.10)
g ning h ga bog‘iqligi esa,
g_h=g₀–0.0003086h* (4.11)
formuladan aniqlanadi. Bu erda g₀ dengiz sathidagi erkin tushish tezlanishi (sm/s²), h-joyning balandligi (metr). Jadvalda 1° intervallar oralab turli geografik kengliklar uchun 4.10 formula orqali keltirib chiqarilgan g ning qiymatlari, va g ning dunyodagi ba'zi shaharlar uchun qiymatlari keltirilgan.
Gorizontal va gorizontga qiya otilgan jism harakati va ularning harakat tenglamalari.
Jismlarning gorizontga nisbatan burchak ostida otilgan harakati – ballistik deyiladi. Bunday harakatga voleybol koptogining, miltiqdan otilgan o‘qning yoki yuqoriga sakragan sportchining harakatini misol sifatida keltirish mumkin. Jismning bunday harakati Yerning tortishish kuchi ta’sirida yuz beradi, havoning
qarshiligi harakat trayektoriyasiga kichik tuzatish kiritadi. Bu tuzatish kichik bo‘lganligi uchun masalani soddalashtirish maqsadida ko‘p hollarda havoning qarshiligi inobatga olinmaydi. Ammo jismning harakati uzoq vaqt davom etsa, havoning qarshiligi ahamiyat kasb eta boshlaydi. Bunga yomg‘ir tomchisining harakati misol bo‘la oladi. Bu yerdagi tahlilda biz havoning qarshiligini e’tiborga
olmaymiz. Soddalik uchun jism harakatini Yer sirti yaqinida sodir bo‘layapti deb qaraymiz. Bunda bizga otish jarayoni qanday amalga oshirilganligi ahamiyatga ega emas, va jismning otilgandan keyingi, ya’ni jismning havodagi og‘irlik kuchi ta’siridagi erkin harakatini kuzatamiz.
Shunday qilib, jism harakat davomida birgina, pastga yo‘nalgan 9,8 m/s² ga teng bo‘lgan tezlanishni oladi. Jismning gorizontga nisbatan burchak ostida otilgan harakatini birinchi bo‘lib Galilei talqin qilib berdi. U, bu harakatni, ikki mustaqil – vertikal va gorizontal tashkil etuvchilarini alohida-alohida tahlil qilish bilan To‘la tavsiflash mimkinligini ko‘rsatdi. Ballistik harakatni batafsil o‘rganishni boshlashdan avval bir qator umumiy holatlarni ta’kidlab o‘tish lozim:
1. Gorizontga burchak ostida otilgan jismning harakati Yer tortish kuchidan boshqa kuchlar (masalan shamol) bo‘lmasa, tekislikda, ya’ni ikki o‘lchamli fazoda yuz beradi (1-rasmga q.). Bu yerda ixtiyoriy vektor ikkita o‘zaro perpendikular o‘qlarga proyeksiyasi bilan To‘liq aniqlanishini eslash yetarli. Bizning misolda o‘qlardan biri gorizontal tekislikda yotadi. Bu dekart koordinatalar sistemasining, masalan, X o‘qi bo‘lsin. Ikkinchisi esa vertikal o‘q bo‘lib, uni Y o‘qi deb olamiz.
2. Bizga ma’lum bo‘lgan barcha hollarda gorizontga burchak ostida otilgan jism harakati Yer sirtiga yaqin masofalarda sodir bo‘ladi. Shu sababli barcha jismlarning harakatini birday talqin qilish mumkin, ya’ni erkin tushish tezlanishi g ni o‘zgarmas deb olish mumkin. Haqiqatan ham, Yerning radiusiga (Ryer = 6.4*10⁶ m) nisbatan amaldagi balandliklarning barchasi juda kichik ekanligi yuqoridagi tasdiqning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
3. Alohida ta’kidlanmasa havoning qarshiligini inobatga olmaymiz.





1-rasm
4. Kinematik masalada harakati o‘rganilayotgan jismning shakli va o‘lchamlari e’tiborga olinmaydi. Shu tartibga amal qilib otilayotgan jismni moddiy nuqta deb qarash mumkin. Faraz qilamiz, gorizontga nisbatan θ0 burchak ostida otilgan jismning boshlang‘ich tezligi V₀ bo‘lsin (1-rasm). Agar jism fazoga, gorizont chizig‘idan yuqoriga otilsa, θ0 musbat, agar gorizont chizig‘idan pastga otilsa, θ₀ manfiy bo‘ladi. Dekart koordinatalar sistemasini yuqorida ta’kidlaganimizdek tanlasak, jismning faqat Y o‘qi yo‘nalishidagi tezlanishi noldan
farqli bo‘ladi. Shunday qilib, jism tezlanishining mos o‘qlarga proyeksiyalari ax = 0; ay = -g . Masalani umumiy holda ko‘rib chiqamiz. Jismning otilish vaqtidagi (t0 = 0) koordinatasi x(0) = x0; y(0) = y0 bo‘lsin. Boshlang‘ich tezlik quyidagi proyeksiyalarga ega bo‘ladi:

(4.12)

bu yerda V₀ jismning boshlang‘ich tezligi, θ otilish burchagi. Jismning koordinatasi vaqt o‘tishi bilan quyidagicha o‘zgaradi:

(4.13)
Olingan natijani tahlil qilamiz. Jismning otilish vaqtidagi (t₀= 0) koordinatasi x(0) = 0; y(0) = 0 bo‘lsin. Boshqacha tilda, jism boshlang‘ich vaqtda Yer sirtida yotibdi.
A. Otilgan jismning uchish – Yerga qaytib tushish vaqtini aniqlaymiz. Buning uchun (2.54) ifodada y koordinatani nolga teng deb olamiz:
(4.14)
ya’ni jism yerga tushish vaqtida balandlik nolga teng bo‘ladi. (4.14) tenglama ikkita yechimga ega. Ulardan biri jismning uchish vaqtini aniqlaydi:
(4.15)
t₁ = 0 bo‘lgan ikkinchi yechim ham ma’noga ega. U jismning otilish vaqtini ko‘rsatadi.
B. Jismning uchish masofasini aniqlaymiz. Buning uchun (4.13) ifodalarning birinchisida vaqtning o‘rniga uchish vaqti (4.15) qo‘yamiz:
(4.16)
Bu ifodadan ko‘ramizki, jism boshlang‘ich tezligining moduli birday bo‘lganda eng uzoq masofaga borib tushishi uchun uni 45⁰ burchak ostida otish kerak ekan.
C. Jism maksimal ko‘tarilish balandligiga uchish vaqti (4.15)
ning yarmiga teng vaqtda erishadi. Bu balandlikni aniqlash uchun
(4.13) tenglamaning ikkinchisidan foydalanib quyidagini topamiz:
(4.17)
D. (4.13) tenglamalardan jismning harakat trayektoriyasi formulasini aniqlash mumkin. Buning uchun (4.13) tenglamalarning birinchisidan vaqtni topib ikkinchisiga qo‘yamiz:
(4.18)
Bu ifoda gorizontga burchak ostida otilgan jismning harakat trayektoriyasini aniqlaydi. Bu ifoda shoxlari pastga qaragan parabola tenglamasidir. Bu yerda boshlang‘ich tezlik va otilish burchagi o‘zgarmas kattalik ekanligini eslatib o‘tamiz.