4-ma’ruza. Ratsional kasrlarni integrallash Reja

2. Sodda kasrlarni integrallash.
ratsional kasrning integralini hisoblash, shakldagi ko’phadni integrallashga va quyidagi
(7)
(bunda – haqiqiy sonlar, ) ko’rinishdagi sodda kasrlarni integrallashga keltiriladi. Bu sodda kasrlarning integrallari quyidagicha hisoblanadi.
Quyidagi, ,
ko’rinishdagi sodda kasrlarni qaraymiz. U holda:
1) bo’lganda, .
2) bo’lganda, .
3) bo’lganda, almashtirish olib, kvadrat uchhadni, ko’rinishga keltiramiz, va berilgan kasrning aniqmas integralini topamiz:

4) bo’lganda, almashtirish olib, kvadrat uchhadni ko’rinishga keltiramiz va berilgan kasrning aniqmas integralini topamiz:

Oxirgi ifodadagi integral esa, quyidagi

rekurrent formula orqali topiladi.
Shunday qilib, har qanday haqiqiy koeffisiyentli haqiqiy o’zgaruvchili ratsional (ratsional kasr) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi – logarifm, arktangens va ratsional funksiya orqali ifodalar ekan.
1 – misol. Ushbu

integralni hisoblang
Yechilishi. Integral ostidagi kasr – noto’g’ri kasr bo’lganligi uchun, (2) ga asosan, ko’phadni ko’phadga bo’lib, w(x)=x bo’linma va qoldiqni topamiz, ya’ni

Ravshanki, ko’phad haqiqiy ildizga ega, ko’phadni ga bo’lib,

ko’rinishga keltiramiz.
1– teoremaga asosan, kasr (6) ko’rinishdagi sodda kasrlar yig’indisi sifatida tasvirlanadi, ya’ni
. (9)
Oxirgi tenglikni umumiy maxrajga keltirib, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Tenglikning o’ng tomonidagi qavslarni ochib, ko’phadlarning o’zaro tengligi haqidagi xossadan foydalanib, x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlarni tenglashtiramiz:
(10)
Natijada, .
Demak,



To’g’ri ratsional kasrlarni noma’lum koeffisiyentli (6) ko’rinishdagi sodda kasrlar yig’indisi shaklida tasvirlaganda, undagi noma’lum koeffisiyentlarni yuqorida ko’rsatilgan (1– misolga q.), noma’lum koeffisiyentlar usulidan foydalanib topishda, chiziqli algebraik tenglamalarni yechishga to’g’ri keladi, lekin chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, har doim ham yengil bo’lavermaydi. Xususiy hollarda, noma’lum koeffisiyentlar usuliga qaraganda, qulayroq bo’lgan, ya’ni noma’lum koeffisiyentlarni topishda osonroq bo’lgan, usullar mavjud. Masalan, Xevisayd usuli, Gorner sxemasi, differensiallashdan foydalanish usullari, shular jumlasiga kiradi.